Determine o módulo dos números complexos:
(3-i)(2+i)(2 i-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o módulo de números complexos que estão multiplicados: (3 - i)(2 + i)(2i - 4). Aqui, estamos trabalhando com números complexos e vamos usar algumas propriedades deles para chegar na resposta. Vamos precisar saber como calcular o módulo de um número complexo e como ele se comporta quando multiplicamos vários números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um número complexo. Se temos um número complexo na forma a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, o módulo desse número é dado por:
|a + bi| = raiza^2 + b^2
Isso basicamente nos dá a “distância” desse número até a origem no plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante dos módulos: o módulo do produto de números complexos é igual ao produto dos módulos individuais. Ou seja:
|(3 - i)(2 + i)(2i - 4)| = |3 - i| times |2 + i| times |2i - 4|
Isso facilita bastante a nossa vida, porque podemos calcular cada módulo separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 4

Vamos calcular o módulo de cada número complexo:
  1. Para 3 - i:
    • Parte real ( a) = 3
    • Parte imaginária ( b) = -1
    • Então, |3 - i| = raiz3^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10
  2. Para 2 + i:
    • Parte real ( a) = 2
    • Parte imaginária ( b) = 1
    • Então, |2 + i| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
  3. Para 2i - 4 (ou -4 + 2i):
    • Parte real ( a) = -4
    • Parte imaginária ( b) = 2
    • Então, |-4 + 2i| = raiz(-4)^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 5

Agora que temos os módulos individuais, vamos multiplicá-los:
|3 - i| times |2 + i| times |2i - 4| = raiz10 times raiz5 times 2raiz5
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Multiplicando raiz10 por raiz5:
    raiz10 times raiz5 = raiz10 times 5 = raiz50 = 5raiz2
  2. Agora, multiplicamos esse resultado por 2raiz5:
    5raiz2 times 2raiz5 = 10 times raiz2 times 5 = 10raiz10

Resposta

O módulo do número complexo (3 - i)(2 + i)(2i - 4) é 10raiz10.

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