Sejam
e
, três matrizes quadradas de dimensões
, tais que
, com
inversível,
e
. Mostre que:
-
;
-
é um autovalor de
se e somente se for tambḿ um autovalor de
;
- V é autovetor de
, associado ao autovalor
, se e somente se
for autovalor de
, associado ao autovalor
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei diretamente do texto do problema):
-
, e são matrizes quadradas de ordem . -
é inversível. - Vale a identidade matricial
. - Tem-se um vetor
e um escalar .
O que o problema pede (três itens):
- Mostrar que
. - Mostrar que
é autovalor de se, e somente se, for autovalor de . - Mostrar que
é autovetor de associado a se, e somente se, é autovetor de associado a .
Passo 2
Provar a identidade
.
Explicação e cálculo passo a passo:
-
é a matriz identidade . Para qualquer escalar e qualquer matriz de ordem tem-se e . - Começo expandindo o lado esquerdo usando distributividade:
- Usando as propriedades indicadas,
. E pelo dado do enunciado . Assim
- Factorizando
à direita obtemos
- Portanto concluímos
que é o que se pedia. Observação: não foi usada a inversibilidade de
aqui, apenas a identidade
e as propriedades usuais de matrizes.
Passo 3
Explicar o que é ser autovalor/autovetor e uma forma útil de teste.
Definição e fato útil:
- Uma matriz
tem como autovalor se existe vetor não-nulo tal que
- Equivalentemente, isso significa que existe
com
ou seja,
tem núcleo não trivial. Outra forma equivalente e muito usada é o critério do determinante:
Explico por quê:
se e somente se
não é invertível, i.e. tem núcleo não trivial, i.e. existe
com
.
Passo 4
Usar a identidade do Passo 2 para provar a equivalência de autovalores (item 2).
Passos:
- Do Passo 2 temos a igualdade matricial
- Como
é inversível, multiplico à direita por para obter uma similaridade:
- Agora uso a propriedade do determinante multiplicativo: para quaisquer matrizes quadradas
de ordem vale . Assim
- Como
, os fatores e se cancelam, ficando
- Portanto
se e somente se . Pelas observações do Passo 3 isso significa exatamente que
Observação alternativa (mais construtiva): se existir
tal que
, então multiplique por
e use (
para ver que
. Como
é inversível,
. Assim um autovalor de
gera um autovetor correspondente de
. A recíproca segue aplicando
. Isso também mostra a correspondência entre os autovetores (próximo passo).
Passo 5
Provar a correspondência de autovetores (item 3):
é autovetor de
associado a
sse
é autovetor de
associado a
.
Direção direta (se
é autovetor de
então
é autovetor de
):
- Suponha
com . - Multiplicando ambos os lados por
obtemos . - Pelo dado
temos . - Logo
ou seja,
é autovetor de
associado a
.
- Além disso, como
é inversível e , tem-se , então é realmente um autovetor válido.
Direção recíproca (se
é autovetor de
então
é autovetor de
):
- Suponha
. - Escrevendo
e igualando a obtemos
- Como
é inversível, multiplicando à esquerda por segue
- Além disso,
implica , então é um autovetor válido de .
Essas duas implicações mostram a equivalência desejada e também explicam por que autovetores correspondem bijetivamente por meio da aplicação invertível
:
.
Passo 6
Recapitulação curta (ligando os itens):
- No Passo 2 mostrei a identidade matricial pedida.
- No Passo 4 usei essa identidade para mostrar que
e são semelhantes, daí deteminantes iguais e consequentemente as listas de autovalores coincidem. - No Passo 5 mostrei explicitamente a correspondência entre autovetores por
, com a observação essencial de que é inversível, garantindo que vetores não-nulos permanecem não-nulos e que a correspondência é bijetiva.