Sejam A, B e Q, três matrizes quadradas de dimensões n \times n, tais que A Q=Q B, com Q inversível, \mathbf{V} \in \mathcal{R}^{n} e \lambda \in \mathcal{R}. Mostre que:
  • (\lambda I-A) Q=Q(\lambda I-B);
  • \lambda é um autovalor de A se e somente se for tambḿ um autovalor de B;
  • V é autovetor de B, associado ao autovalor \lambda, se e somente se Q \mathbf{V} for autovalor de A, associado ao autovalor \lambda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei diretamente do texto do problema):
  • A, B e Q são matrizes quadradas de ordem n.
  • Q é inversível.
  • Vale a identidade matricial \;A Q = Q B\;.
  • Tem-se um vetor \mathbf{V}\in\mathcal{R}^{n} e um escalar \lambda\in\mathcal{R}.
O que o problema pede (três itens):
  1. Mostrar que (\lambda I-A) Q = Q(\lambda I-B).
  2. Mostrar que \lambda é autovalor de A se, e somente se, for autovalor de B.
  3. Mostrar que \mathbf{V} é autovetor de B associado a \lambda se, e somente se, Q\mathbf{V} é autovetor de A associado a \lambda.

Passo 2

Provar a identidade (\lambda I-A) Q = Q(\lambda I-B).
Explicação e cálculo passo a passo:
  • I é a matriz identidade n\times n. Para qualquer escalar \lambda e qualquer matriz M de ordem n tem-se \lambda I \cdot M = \lambda M e M\cdot \lambda I = \lambda M.
  • Começo expandindo o lado esquerdo usando distributividade:
(\lambda I - A)Q = \lambda I\;Q - A Q.
  • Usando as propriedades indicadas, \lambda I\;Q = \lambda Q. E pelo dado do enunciado A Q = Q B. Assim
(\lambda I - A)Q = \lambda Q - Q B.
  • Factorizando Q à direita obtemos
\lambda Q - Q B = Q(\lambda I) - Q B = Q(\lambda I - B).
  • Portanto concluímos
(\lambda I - A)Q = Q(\lambda I - B),
que é o que se pedia. Observação: não foi usada a inversibilidade de Q aqui, apenas a identidade A Q = Q B e as propriedades usuais de matrizes.

Passo 3

Explicar o que é ser autovalor/autovetor e uma forma útil de teste.
Definição e fato útil:
  • Uma matriz M tem \lambda como autovalor se existe vetor não-nulo \mathbf{x} tal que
M\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}.
  • Equivalentemente, isso significa que existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} com
(\lambda I - M)\mathbf{x}=\mathbf{0},
ou seja, \lambda I - M tem núcleo não trivial. Outra forma equivalente e muito usada é o critério do determinante:
\lambda \text{ é autovalor de } M \quad\Longleftrightarrow\quad \det(\lambda I - M)=0.é
Explico por quê: \det(\lambda I - M)=0 se e somente se \lambda I - M não é invertível, i.e. tem núcleo não trivial, i.e. existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} com (\lambda I - M)\mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 4

Usar a identidade do Passo 2 para provar a equivalência de autovalores (item 2).
Passos:
  • Do Passo 2 temos a igualdade matricial
(\lambda I - A)Q = Q(\lambda I - B).
  • Como Q é inversível, multiplico à direita por Q^{-1} para obter uma similaridade:
\lambda I - A = Q(\lambda I - B)Q^{-1}.
  • Agora uso a propriedade do determinante multiplicativo: para quaisquer matrizes quadradas X,Y de ordem n vale \det(XY)=\det(X)\det(Y). Assim
\det(\lambda I - A)=\det\big(Q(\lambda I - B)Q^{-1}\big)=\det(Q)\,\det(\lambda I - B)\,\det(Q^{-1}).
  • Como \det(Q^{-1})=1/\det(Q), os fatores \det(Q) e \det(Q^{-1}) se cancelam, ficando
\det(\lambda I - A)=\det(\lambda I - B).
  • Portanto \det(\lambda I - A)=0 se e somente se \det(\lambda I - B)=0. Pelas observações do Passo 3 isso significa exatamente que
\lambda \text{ é autovalor de } A \iff \lambda \text{ é autovalor de } B.éé
Observação alternativa (mais construtiva): se existir \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tal que (\lambda I - B)\mathbf{v}=0, então multiplique por Q e use ( \lambda I - A)Q = Q(\lambda I - B) para ver que (\lambda I - A)(Q\mathbf{v})=0. Como Q é inversível, Q\mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Assim um autovalor de B gera um autovetor correspondente de A. A recíproca segue aplicando Q^{-1}. Isso também mostra a correspondência entre os autovetores (próximo passo).

Passo 5

Provar a correspondência de autovetores (item 3): \mathbf{V} é autovetor de B associado a \lambda sse Q\mathbf{V} é autovetor de A associado a \lambda.
Direção direta (se \mathbf{V} é autovetor de B então Q\mathbf{V} é autovetor de A):
  • Suponha B\mathbf{V}=\lambda\mathbf{V} com \mathbf{V}\neq\mathbf{0}.
  • Multiplicando ambos os lados por Q obtemos Q(B\mathbf{V})=\lambda Q\mathbf{V}.
  • Pelo dado A Q = Q B temos A(Q\mathbf{V}) = (A Q)\mathbf{V} = (Q B)\mathbf{V} = Q(B\mathbf{V}).
  • Logo
A(Q\mathbf{V}) = Q(B\mathbf{V}) = \lambda Q\mathbf{V},
ou seja, Q\mathbf{V} é autovetor de A associado a \lambda.
  • Além disso, como Q é inversível e \mathbf{V}\neq\mathbf{0}, tem-se Q\mathbf{V}\neq\mathbf{0}, então é realmente um autovetor válido.
Direção recíproca (se Q\mathbf{V} é autovetor de A então \mathbf{V} é autovetor de B):
  • Suponha A(Q\mathbf{V})=\lambda(Q\mathbf{V}).
  • Escrevendo A(Q\mathbf{V})=(A Q)\mathbf{V}=(Q B)\mathbf{V} e igualando a \lambda Q\mathbf{V} obtemos
Q(B\mathbf{V}) = \lambda Q\mathbf{V}.
  • Como Q é inversível, multiplicando à esquerda por Q^{-1} segue
B\mathbf{V} = \lambda \mathbf{V}.
  • Além disso, Q\mathbf{V}\neq\mathbf{0} implica \mathbf{V}\neq\mathbf{0}, então \mathbf{V} é um autovetor válido de B.
Essas duas implicações mostram a equivalência desejada e também explicam por que autovetores correspondem bijetivamente por meio da aplicação invertível Q: \mathbf{v}\mapsto Q\mathbf{v}.

Passo 6

Recapitulação curta (ligando os itens):
  • No Passo 2 mostrei a identidade matricial pedida.
  • No Passo 4 usei essa identidade para mostrar que \lambda I - A e \lambda I - B são semelhantes, daí deteminantes iguais e consequentemente as listas de autovalores coincidem.
  • No Passo 5 mostrei explicitamente a correspondência entre autovetores por Q, com a observação essencial de que Q é inversível, garantindo que vetores não-nulos permanecem não-nulos e que a correspondência é bijetiva.

Resposta

(\lambda I-A) Q = Q(\lambda I-B)
\lambda é autovalor de A sse \lambda é autovalor de B
\mathbf{V} é autovetor de B associado a \lambda sse Q\mathbf{V} é autovetor de A associado a \lambda

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