Seja T: R^{n} \longrightarrow R^{n} um operador algébrico inear. Mostrar que se \lambda for um autovalor de T e X, o correspondente autovetor, então:
\exp (T) \mathbf{X}=\exp (\lambda) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado dá:
  • T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} é um operador linear.
  • \lambda é um autovalor de T e \mathbf{X} é um autovetor associado, isto é,
T\mathbf{X}=\lambda\mathbf{X},
com \mathbf{X}\neq\mathbf{0}.
O que se pede: mostrar que
\exp(T)\mathbf{X}=\exp(\lambda)\mathbf{X}.

Passo 2

Definição e significado de \exp(T).
A exponencial de um operador linear T é definida pela série de potências (a mesma série da exponencial escalar, aplicada ao operador):
\exp(T)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}T^{k},
onde T^{0}=I (a identidade) e T^{k}=T\circ T\circ\cdots\circ T (produto k vezes) para k\ge1.
Observações sobre convergência (por que a série faz sentido): em dimensão finita cada operador linear pode ser representado por uma matriz e a série acima converge absolutamente em norma de operador (a série de matrizes \sum \frac{1}{k!}T^{k} converge porque a série escalar \sum \frac{\|T\|^{k}}{k!} converge). Assim \exp(T) é bem definida como um operador linear em \mathbb{R}^{n}.

Passo 3

Propriedade das potências de T sobre o autovetor \mathbf{X}.
Vou provar por indução a fórmula
T^{k}\mathbf{X}=\lambda^{k}\mathbf{X}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}_{0}.
Base k=0: T^{0}\mathbf{X}=I\mathbf{X}=\mathbf{X}=\lambda^{0}\mathbf{X}.
Passo indutivo: suponha T^{k}\mathbf{X}=\lambda^{k}\mathbf{X}. Então
T^{k+1}\mathbf{X}=T(T^{k}\mathbf{X})=T(\lambda^{k}\mathbf{X})=\lambda^{k}T\mathbf{X}=\lambda^{k}(\lambda\mathbf{X})=\lambda^{k+1}\mathbf{X}.
Logo vale para todo k.
Intuição simples: aplicar T repetidas vezes a um autovetor apenas multiplica por \lambda cada vez.

Passo 4

Aplicar a série \exp(T) ao vetor \mathbf{X}.
Pela definição da exponencial e pela linearidade da aplicação de operadores a vetores:
\exp(T)\mathbf{X}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}T^{k}\right)\mathbf{X}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\,T^{k}\mathbf{X}.
Justificativa da troca soma–aplicação: cada termo \frac{1}{k!}T^{k}\mathbf{X} é um vetor, a série de vetores converge (porque os termos têm norma majorada por \frac{\|T\|^{k}\|\mathbf{X}\|}{k!} e a série escalar correspondente converge). Portanto podemos somar termo a termo.
Usando o resultado do Passo 3 substituímos T^{k}\mathbf{X}=\lambda^{k}\mathbf{X}:
\exp(T)\mathbf{X}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\,\lambda^{k}\mathbf{X}.

Passo 5

Fatorar o vetor e reconhecer a série escalar.
Como cada termo é um escalar vezes o mesmo vetor \mathbf{X}, podemos fatorar \mathbf{X} fora da soma:
\exp(T)\mathbf{X}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\lambda^{k}\right)\mathbf{X}.
A soma escalar é exatamente a definição de \exp(\lambda), portanto
\exp(T)\mathbf{X}=\exp(\lambda)\mathbf{X}.

Passo 6

Um exemplo curto para intuir: se T for a matriz diagonal \begin{pmatrix}\lambda & 0\\\ 0 & \mu\end{pmatrix} e \mathbf{X}=e_{1}=(1,0)^{T} (autovetor associado a \lambda), então
\exp(T)=\begin{pmatrix}e^{\lambda} & 0\\[4pt]0 & e^{\mu}\end{pmatrix}
e obviamente \exp(T)e_{1}=e^{\lambda}e_{1}, confirmando a fórmula no caso concreto.]

Resposta

\exp(T)\mathbf{X}=\exp(\lambda)\mathbf{X}

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