Seja
um operador algébrico inear. Mostrar que se
for um autovalor de
e X, o correspondente autovetor, então:
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um operador linear. -
é um autovalor de e é um autovetor associado, isto é,
com
.
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Definição e significado de
.
A exponencial de um operador linear
é definida pela série de potências (a mesma série da exponencial escalar, aplicada ao operador):
onde
(a identidade) e
(produto
vezes) para
.
Observações sobre convergência (por que a série faz sentido): em dimensão finita cada operador linear pode ser representado por uma matriz e a série acima converge absolutamente em norma de operador (a série de matrizes
converge porque a série escalar
converge). Assim
é bem definida como um operador linear em
.
Passo 3
Propriedade das potências de
sobre o autovetor
.
Vou provar por indução a fórmula
Base
:
.
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo vale para todo
.
Intuição simples: aplicar
repetidas vezes a um autovetor apenas multiplica por
cada vez.
Passo 4
Aplicar a série
ao vetor
.
Pela definição da exponencial e pela linearidade da aplicação de operadores a vetores:
Justificativa da troca soma–aplicação: cada termo
é um vetor, a série de vetores converge (porque os termos têm norma majorada por
e a série escalar correspondente converge). Portanto podemos somar termo a termo.
Usando o resultado do Passo 3 substituímos
:
Passo 5
Fatorar o vetor e reconhecer a série escalar.
Como cada termo é um escalar vezes o mesmo vetor
, podemos fatorar
fora da soma:
A soma escalar é exatamente a definição de
, portanto
Passo 6
Um exemplo curto para intuir: se
for a matriz diagonal
e
(autovetor associado a
), então
e obviamente
, confirmando a fórmula no caso concreto.]