(a) Suponha A e B dois alunos do curso de Engenharia Elétrica que manipulam mensagens codificadas através da teoria de multiplicação de matrizes usando a seguinte correspodência entre letras, números e caracteres:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
U
V
W
X
Y
Z
.
,
\#
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Obs.: O simbolo # significa o espaço entre duas palavras.
Um certto dia o aluno A manda uma mensagem para o aluno B. Para o aluno B saber a mensagem enviada pelo aluno A, ele deve multiplicar a matriz \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right) pela matriz \left(\begin{array}{cccccccc}31 & 52 & 25 & 26 & 52 & 19 & 9 & 7 \\\\ 30 & 32 & 13 & 21 & 32 & 10 & 6 & 6\end{array}\right).
Qual foi a mensagem recebida pelo aluno B ?
Passo 1
O enunciado pede que, para descobrir a mensagem enviada por A, o aluno B multiplique a matriz
(Nota: o símbolo \# significa espaço entre palavras.)
O objetivo: calcular M\cdot C e, a partir da matriz resultante, transformar cada número em seu caractere correspondente para ler a mensagem.]
Passo 2
Como multiplicar essas matrizes (aula rápida e prática): se
M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \text{coluna }j\text{ de }C=\begin{pmatrix}x_j\\[4pt]y_j\end{pmatrix},
então a coluna j do produto P=M\cdot C é
P_{\cdot j}=M\begin{pmatrix}x_j\\[4pt]y_j\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a x_j + b y_j\\[4pt] c x_j + d y_j\end{pmatrix}.
No nosso caso a=1, b=-1, c=-1, d=2. Portanto, para cada coluna j temos as fórmulas simples:
\text{linha 1, coluna }j:\; p_{1j}=x_j-y_j,
\text{linha 2, coluna }j:\; p_{2j}=-x_j+2y_j.
Vou usar essas fórmulas coluna a coluna (isso facilita na prova: não precisa multiplicar matrizes inteiras de uma vez, só aplicar a fórmula para cada par (x_j,y_j)).]
Passo 3
Calcular coluna por coluna usando p_{1j}=x_j-y_j e p_{2j}=-x_j+2y_j.
Decodificar os números usando a tabela dada (peguei a tabela do enunciado):
Primeira linha de P: \begin{pmatrix}1 & 20 & 12 & 5 & 20 & 9 & 3 & 1\end{pmatrix} corresponde a
1\to A,\;20\to T,\;12\to L,\;5\to E,\;20\to T,\;9\to I,\;3\to C,\;1\to A,
ou seja a palavra “ATLETICA”.
Segunda linha de P: \begin{pmatrix}29 & 12 & 1 & 16 & 12 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix} corresponde a
29\to \#,\,12\to L,\,1\to A,\,16\to P,\,12\to L,\,1\to A,\,3\to C,\,5\to E,
ou seja “#LAPLACE” (onde \# é espaço).
Passo 6
Ler a mensagem completa: normalmente, quando a matriz tem duas linhas, a mensagem é obtida lendo a primeira linha (da esquerda para a direita) seguida da segunda linha (da esquerda para a direita), interpretando \# como espaço. Assim juntamos “ATLETICA” com " LAPLACE" (note o espaço inicial da segunda linha) e obtemos:
“ATLETICA LAPLACE”.