(a) Suponha A e B dois alunos do curso de Engenharia Elétrica que manipulam mensagens codificadas através da teoria de multiplicação de matrizes usando a seguinte correspodência entre letras, números e caracteres:
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K L M N O P Q R S T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
U V W X Y Z . , \#
21 22 23 24 25 26 27 28 29
Obs.: O simbolo # significa o espaço entre duas palavras.
Um certto dia o aluno A manda uma mensagem para o aluno B. Para o aluno B saber a mensagem enviada pelo aluno A, ele deve multiplicar a matriz \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right) pela matriz \left(\begin{array}{cccccccc}31 & 52 & 25 & 26 & 52 & 19 & 9 & 7 \\\\ 30 & 32 & 13 & 21 & 32 & 10 & 6 & 6\end{array}\right).
Qual foi a mensagem recebida pelo aluno B ?

Passo 1

O enunciado pede que, para descobrir a mensagem enviada por A, o aluno B multiplique a matriz
M=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}
pela matriz
C=\begin{pmatrix} 31 & 52 & 25 & 26 & 52 & 19 & 9 & 7\\[4pt] 30 & 32 & 13 & 21 & 32 & 10 & 6 & 6 \end{pmatrix}.
As informações relevantes dadas são:
  • A correspondência número \leftrightarrow letra é (peguei isto do enunciado):
\begin{array}{cccccccccc} A&B&C&D&E&F&G&H&I&J\\[2pt] 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 \end{array}
\begin{array}{cccccccccc} K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T\\[2pt] 11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \end{array}
\begin{array}{ccccccccc} U&V&W&X&Y&Z&.&,&,\#\\[2pt] 21&22&23&24&25&26&27&28&29 \end{array}
(Nota: o símbolo \# significa espaço entre palavras.)
  • O objetivo: calcular M\cdot C e, a partir da matriz resultante, transformar cada número em seu caractere correspondente para ler a mensagem.]

Passo 2

Como multiplicar essas matrizes (aula rápida e prática): se
M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \text{coluna }j\text{ de }C=\begin{pmatrix}x_j\\[4pt]y_j\end{pmatrix},
então a coluna j do produto P=M\cdot C é
P_{\cdot j}=M\begin{pmatrix}x_j\\[4pt]y_j\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a x_j + b y_j\\[4pt] c x_j + d y_j\end{pmatrix}.
No nosso caso a=1, b=-1, c=-1, d=2. Portanto, para cada coluna j temos as fórmulas simples:
\text{linha 1, coluna }j:\; p_{1j}=x_j-y_j,
\text{linha 2, coluna }j:\; p_{2j}=-x_j+2y_j.
Vou usar essas fórmulas coluna a coluna (isso facilita na prova: não precisa multiplicar matrizes inteiras de uma vez, só aplicar a fórmula para cada par (x_j,y_j)).]

Passo 3

Calcular coluna por coluna usando p_{1j}=x_j-y_j e p_{2j}=-x_j+2y_j.
Coluna 1: \begin{pmatrix}x_1\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31\\\ 30\end{pmatrix}
p_{11}=31-30=1,\qquad p_{21}=-31+2\cdot30=-31+60=29.
Coluna 2: \begin{pmatrix}52\\\ 32\end{pmatrix}
p_{12}=52-32=20,\qquad p_{22}=-52+2\cdot32=-52+64=12.
Coluna 3: \begin{pmatrix}25\\\ 13\end{pmatrix}
p_{13}=25-13=12,\qquad p_{23}=-25+2\cdot13=-25+26=1.
Coluna 4: \begin{pmatrix}26\\\ 21\end{pmatrix}
p_{14}=26-21=5,\qquad p_{24}=-26+2\cdot21=-26+42=16.
Coluna 5: mesma de coluna 2, \begin{pmatrix}52\\\ 32\end{pmatrix}
p_{15}=20,\qquad p_{25}=12.
Coluna 6: \begin{pmatrix}19\\\ 10\end{pmatrix}
p_{16}=19-10=9,\qquad p_{26}=-19+2\cdot10=-19+20=1.
Coluna 7: \begin{pmatrix}9\\\ 6\end{pmatrix}
p_{17}=9-6=3,\qquad p_{27}=-9+2\cdot6=-9+12=3.
Coluna 8: \begin{pmatrix}7\\\ 6\end{pmatrix}
p_{18}=7-6=1,\qquad p_{28}=-7+2\cdot6=-7+12=5.

Passo 4

Agora escrevo a matriz produto P=M\cdot C com os valores obtidos:
P=\begin{pmatrix} 1 & 20 & 12 & 5 & 20 & 9 & 3 & 1\\[4pt] 29 & 12 & 1 & 16 & 12 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Decodificar os números usando a tabela dada (peguei a tabela do enunciado):
  • Primeira linha de P: \begin{pmatrix}1 & 20 & 12 & 5 & 20 & 9 & 3 & 1\end{pmatrix} corresponde a
1\to A,\;20\to T,\;12\to L,\;5\to E,\;20\to T,\;9\to I,\;3\to C,\;1\to A,
ou seja a palavra “ATLETICA”.
  • Segunda linha de P: \begin{pmatrix}29 & 12 & 1 & 16 & 12 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix} corresponde a
29\to \#,\,12\to L,\,1\to A,\,16\to P,\,12\to L,\,1\to A,\,3\to C,\,5\to E,
ou seja “#LAPLACE” (onde \# é espaço).

Passo 6

Ler a mensagem completa: normalmente, quando a matriz tem duas linhas, a mensagem é obtida lendo a primeira linha (da esquerda para a direita) seguida da segunda linha (da esquerda para a direita), interpretando \# como espaço. Assim juntamos “ATLETICA” com " LAPLACE" (note o espaço inicial da segunda linha) e obtemos:
“ATLETICA LAPLACE”.

Resposta

ATLETICA LAPLACE

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