Sejam A e B são matrizes de ordem n. Mostre que:
se A B=B A=\mathbf{0}_{n}, então (A-B)^{3}=A^{3}-B^{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n e informa que
A B = B A = \mathbf{0}_n.
O que se pede é mostrar a igualdade
(A-B)^{3}=A^{3}-B^{3}.
Vou listar claramente os dados e o objetivo:
  • Dados:
    • A e B são matrizes n\times n.
    • A B=\mathbf{0}_n.
    • B A=\mathbf{0}_n.
  • Objetivo:
    • Provar que (A-B)^3 = A^3 - B^3.

Passo 2

Lembrete rápido de propriedades de matrizes que vou usar (sem pular etapas):
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis, (XY)Z = X(YZ). Isso permite reagrupamentos sem alterar o produto.
  • A multiplicação é distributiva em relação à soma: X(Y+Z)=XY+XZ e (X+Y)Z = XZ + YZ.
  • Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa: XY pode ser diferente de YX. Por isso, ao expandir potências como (A-B)^3 devo respeitar a ordem dos fatores.
  • A entrada \mathbf{0}_n representa a matriz nula; multiplicar qualquer matriz compatível por \mathbf{0}_n \mathbf{0}_n.

Passo 3

Vou calcular primeiro (A-B)^2 usando distributividade e associatividade (explicando cada termo):
(A-B)^2 = (A-B)(A-B).
Aplicando a distributividade:
(A-B)^2 = A(A-B) - B(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2.
Aqui cada termo veio de multiplicar A ou -B pelo segundo parêntese: A\cdot A = A^2, A\cdot(-B)=-AB, (-B)\cdot A = -BA, (-B)\cdot(-B)=B^2.

Passo 4

Agora uso a hipótese AB=\mathbf{0}_n e BA=\mathbf{0}_n para simplificar (A-B)^2. Substituindo:
(A-B)^2 = A^2 - \mathbf{0}_n - \mathbf{0}_n + B^2 = A^2 + B^2.
Expliquei: os termos -AB e -BA se anulam porque cada um é a matriz nula.

Passo 5

Com a forma simplificada de (A-B)^2 vou calcular (A-B)^3 como (A-B)(A-B)^2:
(A-B)^3 = (A-B)(A^2 + B^2).
Agora aplico distributividade:
(A-B)^3 = A\cdot A^2 + A\cdot B^2 - B\cdot A^2 - B\cdot B^2.
Reescrevendo as potências:
(A-B)^3 = A^3 + A B^2 - B A^2 - B^3.
Cada termo foi obtido respeitando a ordem: por exemplo A\cdot A^2 = A^3, A\cdot B^2 = AB^2, etc.

Passo 6

Falta mostrar que os termos mistos A B^2 e B A^2 são nulos usando AB=\mathbf{0}_n e BA=\mathbf{0}_n. Isso é direto por associatividade:
  • A B^2 = A (B B) = (A B) B = \mathbf{0}_n \cdot B = \mathbf{0}_n.
  • B A^2 = B (A A) = (B A) A = \mathbf{0}_n \cdot A = \mathbf{0}_n.
Observação adicional (útil na prova): qualquer produto que tenha, em sequência, um fator AB ou BA será nulo. Em particular, para inteiros positivos i,j vale A^i B^j = \mathbf{0}_n e B^j A^i = \mathbf{0}_n, porque separamos um AB (ou BA) no meio e o resto multiplica a matriz nula, resultando em \mathbf{0}_n.

Passo 7

Substituindo as anulações no resultado do Passo 5 obtemos
(A-B)^3 = A^3 + \mathbf{0}_n - \mathbf{0}_n - B^3 = A^3 - B^3.
Portanto a igualdade pedida foi demonstrada.

Resposta

(A-B)^3 = A^3 - B^3

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