Sejam
e
são matrizes de ordem
. Mostre que:
se
, então
.
se
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas
e
de ordem
e informa que
O que se pede é mostrar a igualdade
Vou listar claramente os dados e o objetivo:
- Dados:
-
e são matrizes . -
. -
.
-
- Objetivo:
- Provar que
.
- Provar que
Passo 2
Lembrete rápido de propriedades de matrizes que vou usar (sem pular etapas):
- A multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis,
. Isso permite reagrupamentos sem alterar o produto. - A multiplicação é distributiva em relação à soma:
e . - Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa:
pode ser diferente de . Por isso, ao expandir potências como devo respeitar a ordem dos fatores. - A entrada
representa a matriz nula; multiplicar qualquer matriz compatível por dá .
Passo 3
Vou calcular primeiro
usando distributividade e associatividade (explicando cada termo):
Aplicando a distributividade:
Aqui cada termo veio de multiplicar
ou
pelo segundo parêntese:
,
,
,
.
Passo 4
Agora uso a hipótese
e
para simplificar
. Substituindo:
Expliquei: os termos
e
se anulam porque cada um é a matriz nula.
Passo 5
Com a forma simplificada de
vou calcular
como
:
Agora aplico distributividade:
Reescrevendo as potências:
Cada termo foi obtido respeitando a ordem: por exemplo
,
, etc.
Passo 6
Falta mostrar que os termos mistos
e
são nulos usando
e
. Isso é direto por associatividade:
Observação adicional (útil na prova): qualquer produto que tenha, em sequência, um fator
ou
será nulo. Em particular, para inteiros positivos
vale
e
, porque separamos um
(ou
) no meio e o resto multiplica a matriz nula, resultando em
.
Passo 7
Substituindo as anulações no resultado do Passo 5 obtemos
Portanto a igualdade pedida foi demonstrada.