Prove que se
é uma matriz tal que
, então
.
Passo 1
O problema dá uma matriz
(quadrada de ordem
) com a propriedade
e pede para provar que
Informações relevantes que temos:
- A informação que veio do enunciado é
. - O que se pede é identificar a matriz inversa de
e mostrar que ela é . - Lembrete útil (definição): uma matriz
é inversa de se e somente se
Passo 2
Estratégia clara e simples (sem pular etapas): proponho verificar diretamente que a matriz candidata
satisfaça as duas igualdades
Se conseguirmos mostrar ambas, então
é a inversa de
e portanto
. Vou fazer as multiplicações passo a passo, usando apenas as propriedades básicas de matrizes: distributividade e associatividade da multiplicação e o fato óbvio de que
comuta consigo mesmo (ou seja, vale a regra de potências
).
Passo 3
Calcular
e desenvolver termo a termo:
Usando a hipótese
obtemos
Portanto
é pelo menos uma inversa à direita de
.]
Passo 4
Por segurança (e porque multiplicação de matrizes não é comutativa em geral), também verificar a inversa à esquerda calculando
:
De novo, usando
segue que
Portanto
é também inversa à esquerda de
.]
Passo 5
Conclusão lógica curta: como
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
, ela é a inversa de
. Pela unicidade da inversa (teorema padrão: a matriz inversa, quando existe, é única), segue que
Passo 6
Exemplo pequeno para fixar a ideia (opcional, mas útil na prova): tome
Então
(logo
). Aqui a fórmula diz
. De fato,
e a multiplicação dá
conferindo a fórmula.]