Prove que se A é uma matriz tal que A^{3}=\mathbf{0}_{n}, então (I-A)^{-1}=I+A+A^{2}.

Passo 1

O problema dá uma matriz \,A\in M_{n}(\mathbb{K}) (quadrada de ordem n) com a propriedade
A^{3}=\mathbf{0}_{n},
e pede para provar que
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A informação que veio do enunciado é \,A^{3}=\mathbf{0}_{n}.
  • O que se pede é identificar a matriz inversa de \,I-A e mostrar que ela é \,I+A+A^{2}.
  • Lembrete útil (definição): uma matriz B é inversa de I-A se e somente se
(I-A)B=B(I-A)=I.

Passo 2

Estratégia clara e simples (sem pular etapas): proponho verificar diretamente que a matriz candidata
B:=I+A+A^{2}
satisfaça as duas igualdades
(I-A)B=I \qquad\text{e}\qquad B(I-A)=I.
Se conseguirmos mostrar ambas, então B é a inversa de I-A e portanto (I-A)^{-1}=B. Vou fazer as multiplicações passo a passo, usando apenas as propriedades básicas de matrizes: distributividade e associatividade da multiplicação e o fato óbvio de que A comuta consigo mesmo (ou seja, vale a regra de potências A\cdot A^{k}=A^{k+1}).

Passo 3

Calcular (I-A)(I+A+A^{2}) e desenvolver termo a termo:
\begin{aligned} (I-A)(I+A+A^{2}) &= I\cdot(I+A+A^{2})-A\cdot(I+A+A^{2})\\[4pt] &= (I+A+A^{2}) - \bigl(A + A^{2} + A^{3}\bigr)\\[4pt] &= I + A + A^{2} - A - A^{2} - A^{3}\\[4pt] &= I - A^{3}. \end{aligned}
Usando a hipótese \,A^{3}=\mathbf{0}_{n} obtemos
(I-A)(I+A+A^{2}) = I - \mathbf{0}_{n} = I.
Portanto I+A+A^{2} é pelo menos uma inversa à direita de I-A.]

Passo 4

Por segurança (e porque multiplicação de matrizes não é comutativa em geral), também verificar a inversa à esquerda calculando (I+A+A^{2})(I-A):
\begin{aligned} (I+A+A^{2})(I-A) &= (I+A+A^{2})\cdot I - (I+A+A^{2})\cdot A\\[4pt] &= (I+A+A^{2}) - \bigl(A + A^{2} + A^{3}\bigr)\\[4pt] &= I + A + A^{2} - A - A^{2} - A^{3}\\[4pt] &= I - A^{3}. \end{aligned}
De novo, usando \,A^{3}=\mathbf{0}_{n} segue que
(I+A+A^{2})(I-A) = I.
Portanto I+A+A^{2} é também inversa à esquerda de I-A.]

Passo 5

Conclusão lógica curta: como I+A+A^{2} é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de I-A, ela é a inversa de I-A. Pela unicidade da inversa (teorema padrão: a matriz inversa, quando existe, é única), segue que
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}.

Passo 6

Exemplo pequeno para fixar a ideia (opcional, mas útil na prova): tome
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então A^{2}=\mathbf{0}_{2} (logo A^{3}=\mathbf{0}_{2}). Aqui a fórmula diz (I-A)^{-1}=I+A. De fato,
I-A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad I+A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
e a multiplicação dá
(I-A)(I+A)=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I,
conferindo a fórmula.]

Resposta

(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}

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