Sejam
.
) dois ANÉIS COMUTATIVOS UNITÁRIOS. Mostrar que a terna (
) tamber e um ANEL COMUTATIVO UNITYARIO, as operações
no PRODUIO CARTESIANO
sendo definidas por
Passo 1
O enunciado dá duas estruturas algébricas e pede para mostrar que o produto cartesiano delas, com operações apropriadas, também é um anel comutativo unitário. As informações dadas são:
- Temos o anel comutativo unitário
com operações de adição e multiplicação escritas como e . Denotamos por o elemento neutro aditivo de e por o elemento neutro multiplicativo de . - Temos o anel comutativo unitário
com operações de adição e multiplicação escritas como e . Denotamos por o elemento neutro aditivo de e por o elemento neutro multiplicativo de . - Consideramos o produto cartesiano
. - No produto cartesiano definimos duas operações
(a “adição” em ) e (a “multiplicação” em ) da forma (estas são as definições padrão que assumiremos):
- A pergunta: mostrar que a terna
é um anel comutativo unitário (ou seja, verificar que forma um anel, que a multiplicação é comutativa e que existe unidade multiplicativa).
Passo 2
Estratégia do que vamos provar (apenas lista do que precisa ser verificado, sem iniciar calculos):
- Que
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, comutatividade). - Que
é uma multiplicação bem definida e associativa em e que é comutativa. - Que
distributiva em relação a (duas leis distributivas). - Que existe elemento neutro multiplicativo em
(unidade).
Cada item será provado usando as propriedades conhecidas dos anéise .
Passo 3
Fechamento das operações:
- Tomemos
. Então (porque é fechado pela adição) e (porque é fechado pela sua adição ). Logo , ou seja . Assim é fechada em . - Analogamente,
e . Logo . Assim é fechada em .
Passo 4
Associatividade da adição
:
- Tomemos três elementos
. - Calculemos
. Usando a definição:
Aplicando novamente a definição:
- Como
é associativa em e é associativa em , temos
- Portanto o valor anterior é igual a
- Concluímos que
é associativa.
Passo 5
Elemento neutro aditivo e inversos aditivos:
- Seja
o neutro aditivo de e o neutro aditivo de . Proponho que o neutro aditivo de é . - Verificação:
pois
e
. Similarmente
. Logo
é neutro aditivo.
- Inverso aditivo: para
tomamos o inverso em (tal que ) e o inverso em (tal que ). Então o inverso aditivo de é . Verificamos:
- Como cada componente tem inverso aditivo, todo par tem inverso aditivo em
.
Passo 6
Comutatividade da adição
:
- Para quaisquer
temos
- Como
é comutativa em e é comutativa em ,
- Logo
é comutativa. Assim é um grupo abeliano.
Passo 7
Associatividade e comutatividade da multiplicação
:
- Tomemos
. - Calculemos
:
- Como
é associativa em e é associativa em , isto é igual a
- Logo
é associativa. - Para a comutatividade:
pois
e
são comutativas nos seus respectivos anéis. Portanto
é comutativa.
Passo 8
Leis distributivas (multiplicação em relação à adição):
- Precisamos mostrar que para quaisquer
valem
e a versão com a multiplicação à direita (mas como
é comutativa, ambas seguem de forma análoga).
- Calculamos o lado esquerdo:
logo
- Pela distributividade em
temos . Pela distributividade em (multiplicação em relação à adição ) temos . - Portanto o par anterior é
- Isso coincide com
- Logo a distributividade à esquerda é verificada. A distributividade à direita é semelhante (ou segue da comutatividade).
Passo 9
Existência de unidade multiplicativa:
- Proponho que o neutro multiplicativo de
seja , onde e são as unidades multiplicativas de e respectivamente. - Verificação:
pois
e
. Assim
é a unidade multiplicativa de
.
Passo 10
Resumo das propriedades verificadas e observações finais (didática e dicas rápidas para a prova):
- Nós mostramos que
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, neutro , inversos , comutatividade). - Mostramos que
é uma multiplicação associativa e comutativa, fechada em . - Mostramos as duas leis distributivas usando distributividade coordenada em
e . - Mostramos que
é o elemento neutro multiplicativo. - Portanto todas as axiomas de anel comutativo unitário foram verificados coordenada a coordenada. Na prova, o truque é sempre reduzir propriedades do produto às propriedades em cada componente usando as definições coordenadas; isso evita cálculos complicados.
- Dica prática: ao fazer uma prova rápida, escreva explicitamente as igualdades coordenada a coordenada como fizemos, por exemplo, para associatividade e distributividade. Isso deixa transparente que cada propriedade em
decorre da mesma propriedade em e em .
Resposta
A terna
é um anel comutativo unitário; a unidade multiplicativa é
.