Sejam (A,+,. ) e ( B, *, T ) dois ANÉIS COMUTATIVOS UNITÁRIOS. Mostrar que a terna ( A \times B, \square, \otimes ) tamber e um ANEL COMUTATIVO UNITYARIO, as operações \square e \otimes no PRODUIO CARTESIANO A \times B sendo definidas por

Passo 1

O enunciado dá duas estruturas algébricas e pede para mostrar que o produto cartesiano delas, com operações apropriadas, também é um anel comutativo unitário. As informações dadas são:
  • Temos o anel comutativo unitário A com operações de adição e multiplicação escritas como + e \cdot. Denotamos por 0_{A} o elemento neutro aditivo de A e por 1_{A} o elemento neutro multiplicativo de A.
  • Temos o anel comutativo unitário B com operações de adição e multiplicação escritas como * e T. Denotamos por 0_{B} o elemento neutro aditivo de B e por 1_{B} o elemento neutro multiplicativo de B.
  • Consideramos o produto cartesiano A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\;b\in B\}.
  • No produto cartesiano definimos duas operações \square (a “adição” em A\times B) e \otimes (a “multiplicação” em A\times B) da forma (estas são as definições padrão que assumiremos):
(a_{1},b_{1})\square (a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}*b_{2}),
(a_{1},b_{1})\otimes (a_{2},b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2},\;b_{1}\,T\,b_{2}).
  • A pergunta: mostrar que a terna \bigl(A\times B,\square,\otimes\bigr) é um anel comutativo unitário (ou seja, verificar que forma um anel, que a multiplicação é comutativa e que existe unidade multiplicativa).

Passo 2

Estratégia do que vamos provar (apenas lista do que precisa ser verificado, sem iniciar calculos):
  • Que \bigl(A\times B,\square\bigr) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, comutatividade).
  • Que \otimes é uma multiplicação bem definida e associativa em A\times B e que é comutativa.
  • Que \otimes distributiva em relação a \square (duas leis distributivas).
  • Que existe elemento neutro multiplicativo em A\times B (unidade).
    Cada item será provado usando as propriedades conhecidas dos anéis A e B.

Passo 3

Fechamento das operações:
  • Tomemos (a_{1},b_{1}), (a_{2},b_{2})\in A\times B. Então a_{1}+a_{2}\in A (porque A é fechado pela adição) e b_{1}*b_{2}\in B (porque B é fechado pela sua adição *). Logo (a_{1}+a_{2},b_{1}*b_{2})\in A\times B, ou seja (a_{1},b_{1})\square (a_{2},b_{2})\in A\times B. Assim \square é fechada em A\times B.
  • Analogamente, a_{1}\cdot a_{2}\in A e b_{1}\,T\,b_{2}\in B. Logo (a_{1},b_{1})\otimes (a_{2},b_{2})\in A\times B. Assim \otimes é fechada em A\times B.

Passo 4

Associatividade da adição \square:
  • Tomemos três elementos (a_{1},b_{1}), (a_{2},b_{2}), (a_{3},b_{3})\in A\times B.
  • Calculemos ((a_{1},b_{1})\square (a_{2},b_{2}))\square (a_{3},b_{3}). Usando a definição:
((a_{1},b_{1})\square (a_{2},b_{2}))\square (a_{3},b_{3})=(a_{1}+a_{2},\,b_{1}*b_{2})\square (a_{3},b_{3}).
Aplicando novamente a definição:
=( (a_{1}+a_{2})+a_{3},\; (b_{1}*b_{2})*b_{3} ).
  • Como + é associativa em A e * é associativa em B, temos
(a_{1}+a_{2})+a_{3}=a_{1}+(a_{2}+a_{3}),\qquad (b_{1}*b_{2})*b_{3}=b_{1}*(b_{2}*b_{3}).
  • Portanto o valor anterior é igual a
(a_{1}+(a_{2}+a_{3}),\; b_{1}*(b_{2}*b_{3}))=(a_{1},b_{1})\square ( (a_{2},b_{2})\square (a_{3},b_{3}) ).
  • Concluímos que \square é associativa.

Passo 5

Elemento neutro aditivo e inversos aditivos:
  • Seja 0_{A} o neutro aditivo de A e 0_{B} o neutro aditivo de B. Proponho que o neutro aditivo de A\times B é (0_{A},0_{B}).
  • Verificação:
(a,b)\square (0_{A},0_{B})=(a+0_{A},\; b*0_{B})=(a,\; b),
pois a+0_{A}=a e b*0_{B}=b. Similarmente (0_{A},0_{B})\square (a,b)=(a,b). Logo (0_{A},0_{B}) é neutro aditivo.
  • Inverso aditivo: para (a,b) tomamos o inverso -a em A (tal que a+(-a)=0_{A}) e o inverso b' em B (tal que b*b'=0_{B}). Então o inverso aditivo de (a,b) é ( -a,\; b'). Verificamos:
(a,b)\square (-a,b')=(a+(-a),\; b*b')=(0_{A},0_{B}).
  • Como cada componente tem inverso aditivo, todo par tem inverso aditivo em A\times B.

Passo 6

Comutatividade da adição \square:
  • Para quaisquer (a_{1},b_{1}), (a_{2},b_{2})\in A\times B temos
(a_{1},b_{1})\square (a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},\; b_{1}*b_{2}).
  • Como + é comutativa em A e * é comutativa em B,
(a_{1}+a_{2},\; b_{1}*b_{2})=(a_{2}+a_{1},\; b_{2}*b_{1})=(a_{2},b_{2})\square (a_{1},b_{1}).
  • Logo \square é comutativa. Assim (A\times B,\square) é um grupo abeliano.

Passo 7

Associatividade e comutatividade da multiplicação \otimes:
  • Tomemos (a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\in A\times B.
  • Calculemos ((a_{1},b_{1})\otimes (a_{2},b_{2}))\otimes (a_{3},b_{3}):
((a_{1}\cdot a_{2},\; b_{1}\,T\,b_{2}))\otimes (a_{3},b_{3})=( (a_{1}\cdot a_{2})\cdot a_{3},\; (b_{1}\,T\,b_{2})\,T\,b_{3} ).
  • Como \cdot é associativa em A e T é associativa em B, isto é igual a
( a_{1}\cdot (a_{2}\cdot a_{3}),\; b_{1}\,T\,(b_{2}\,T\,b_{3}) )=(a_{1},b_{1})\otimes((a_{2},b_{2})\otimes(a_{3},b_{3})).
  • Logo \otimes é associativa.
  • Para a comutatividade:
(a_{1},b_{1})\otimes (a_{2},b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2},\; b_{1}\,T\,b_{2})=(a_{2}\cdot a_{1},\; b_{2}\,T\,b_{1})=(a_{2},b_{2})\otimes (a_{1},b_{1}),
pois \cdot e T são comutativas nos seus respectivos anéis. Portanto \otimes é comutativa.

Passo 8

Leis distributivas (multiplicação em relação à adição):
  • Precisamos mostrar que para quaisquer (a,b),(a',b'),(a'',b'')\in A\times B valem
(a,b)\otimes\bigl((a',b')\square (a'',b'')\bigr)=(a,b)\otimes(a',b')\square (a,b)\otimes(a'',b'')
e a versão com a multiplicação à direita (mas como \otimes é comutativa, ambas seguem de forma análoga).
  • Calculamos o lado esquerdo:
(a',b')\square (a'',b'')=(a'+a'',\; b'*b''),
logo
(a,b)\otimes\bigl((a',b')\square (a'',b'')\bigr)=(a\cdot (a'+a''),\; b\,T\,(b'*b'')).
  • Pela distributividade em A temos a\cdot (a'+a'')=a\cdot a'+a\cdot a''. Pela distributividade em B (multiplicação T em relação à adição *) temos b\,T\,(b'*b'')=(b\,T\,b')*(b\,T\,b'').
  • Portanto o par anterior é
(a\cdot a'+a\cdot a'',\; (b\,T\,b')*(b\,T\,b'')).
  • Isso coincide com
(a\cdot a',\; b\,T\,b')\square (a\cdot a'',\; b\,T\,b'')=(a,b)\otimes(a',b')\square (a,b)\otimes(a'',b'').
  • Logo a distributividade à esquerda é verificada. A distributividade à direita é semelhante (ou segue da comutatividade).

Passo 9

Existência de unidade multiplicativa:
  • Proponho que o neutro multiplicativo de A\times B seja (1_{A},1_{B}), onde 1_{A} e 1_{B} são as unidades multiplicativas de A e B respectivamente.
  • Verificação:
(a,b)\otimes (1_{A},1_{B})=(a\cdot 1_{A},\; b\,T\,1_{B})=(a,b),
pois a\cdot 1_{A}=a e b\,T\,1_{B}=b. Assim (1_{A},1_{B}) é a unidade multiplicativa de A\times B.

Passo 10

Resumo das propriedades verificadas e observações finais (didática e dicas rápidas para a prova):
  • Nós mostramos que (A\times B,\square) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, neutro (0_{A},0_{B}), inversos (-a,b'), comutatividade).
  • Mostramos que \otimes é uma multiplicação associativa e comutativa, fechada em A\times B.
  • Mostramos as duas leis distributivas usando distributividade coordenada em A e B.
  • Mostramos que (1_{A},1_{B}) é o elemento neutro multiplicativo.
  • Portanto todas as axiomas de anel comutativo unitário foram verificados coordenada a coordenada. Na prova, o truque é sempre reduzir propriedades do produto às propriedades em cada componente usando as definições coordenadas; isso evita cálculos complicados.
  • Dica prática: ao fazer uma prova rápida, escreva explicitamente as igualdades coordenada a coordenada como fizemos, por exemplo, para associatividade e distributividade. Isso deixa transparente que cada propriedade em A\times B decorre da mesma propriedade em A e em B.

Resposta

A terna \bigl(A\times B,\square,\otimes\bigr) é um anel comutativo unitário; a unidade multiplicativa é (1_{A},1_{B}).

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