(1,0) Dado a base de \mathbb{R}^{2}, B=\{(1,2),(0,5)\}, e seja [T]_{B}=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] a representação matricial um operador linear T com relaçiò a essa base. Determine T.
O que é pedido: determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 (ou seja, achar uma fórmula/matriz de T no sistema de coordenadas padrão) a partir dessas informações.]
Passo 2
Entendendo o que a matriz [T]_{B} representa: cada coluna de [T]_{B} são as coordenadas (na base B) da imagem dos vetores da base B. Mais precisamente, se b_1=(1,2) e b_2=(0,5), então
ou seja, as coordenadas de T(b_1) em B são \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} e as coordenadas de T(b_2) em B são \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]
Passo 3
Usando o significado acima, escrevemos T(b_1) e T(b_2) como combinações lineares dos vetores da base B:
T(b_1)=3\,b_1+2\,b_2,
T(b_2)=1\cdot b_1+(-1)\,b_2.
Agora substituímos b_1=(1,2) e b_2=(0,5) e calculamos em coordenadas padrão:
T(b_1)=3(1,2)+2(0,5)=(3,6)+(0,10)=(3,16),
T(b_2)=(1,2)- (0,5)=(1,-3).
Passo 4
Para aplicar T a um vetor genérico (x,y) no sistema padrão precisamos primeiro escrever (x,y) em coordenadas da base B. Ou seja, achar \alpha,\beta tais que