(1,0) Dado a base de \mathbb{R}^{2}, B=\{(1,2),(0,5)\}, e seja [T]_{B}=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] a representação matricial um operador linear T com relaçiò a essa base. Determine T.

Passo 1

O enunciado dá:
B=\{(1,2),(0,5)\}
e
[T]_{B}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
O que é pedido: determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 (ou seja, achar uma fórmula/matriz de T no sistema de coordenadas padrão) a partir dessas informações.]

Passo 2

Entendendo o que a matriz [T]_{B} representa: cada coluna de [T]_{B} são as coordenadas (na base B) da imagem dos vetores da base B. Mais precisamente, se b_1=(1,2) e b_2=(0,5), então
[T]_{B}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}
significa que
[T]_{B}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad [T]_{B}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
ou seja, as coordenadas de T(b_1) em B são \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} e as coordenadas de T(b_2) em B são \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Usando o significado acima, escrevemos T(b_1) e T(b_2) como combinações lineares dos vetores da base B:
T(b_1)=3\,b_1+2\,b_2,
T(b_2)=1\cdot b_1+(-1)\,b_2.
Agora substituímos b_1=(1,2) e b_2=(0,5) e calculamos em coordenadas padrão:
T(b_1)=3(1,2)+2(0,5)=(3,6)+(0,10)=(3,16),
T(b_2)=(1,2)- (0,5)=(1,-3).

Passo 4

Para aplicar T a um vetor genérico (x,y) no sistema padrão precisamos primeiro escrever (x,y) em coordenadas da base B. Ou seja, achar \alpha,\beta tais que
\alpha b_1+\beta b_2=(x,y).
Escrevendo componentes:
\alpha(1,2)+\beta(0,5)=(\alpha,\;2\alpha+5\beta)=(x,y).
Da igualdade das componentes obtemos o sistema
\alpha = x,
2\alpha+5\beta = y.
Substituindo \alpha=x na segunda equação:
2x+5\beta = y \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{y-2x}{5}.
Portanto as coordenadas de (x,y) na base B são
[x,y]_{B}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]\dfrac{y-2x}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos a linearidade: T(x,y)=\alpha\,T(b_1)+\beta\,T(b_2) com \alpha e \beta acima. Substituindo T(b_1)=(3,16) e T(b_2)=(1,-3) obtemos
T(x,y)=x(3,16)+\frac{y-2x}{5}(1,-3).
Vamos calcular componente a componente. Primeira coordenada:
3x + \frac{y-2x}{5}=\frac{15x + y - 2x}{5}=\frac{13x + y}{5}.
Segunda coordenada:
16x + \frac{-3(y-2x)}{5}=\frac{80x -3y +6x}{5}=\frac{86x -3y}{5}.

Passo 6

Portanto a fórmula da transformação linear T no sistema de coordenadas padrão é
T(x,y)=\left(\dfrac{13x+y}{5},\dfrac{86x-3y}{5}\right).
Em forma matricial (matriz de T relativa à base padrão) temos
[T]_{\text{padrão}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}13 & 1 \\[4pt] 86 & -3\end{pmatrix}.ã]

Resposta

T(x,y)=\left(\dfrac{13x+y}{5},\dfrac{86x-3y}{5}\right).
[T]_{\text{padrão}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}13 & 1 \\[4pt] 86 & -3\end{pmatrix}.ã]

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