1. Sejam as bases A e B de \mathbb{R}^{3} dadas por A=\{(1,2,1),(2,1,0),(1,1,2)\} e B=\{(1, 0,1),(0,1,2),(2,1,1)\}.
    a) Determine a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A},
    b) Utilize essa matriz para calcular (v)_{B}, sendo (v)_{A}=(-1,1,2)

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
A=\{(1,2,1),(2,1,0),(1,1,2)\}
B=\{(1,0,1),(0,1,2),(2,1,1)\}
Pede-se:
a) determinar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A} (ou seja, a matriz que transforma coordenadas em A para coordenadas em B);
b) usar essa matriz para calcular (v)_{B}, sabendo que (v)_{A}=(-1,1,2).

Passo 2

O que vamos fazer (explicação didática e simples): para encontrar [I]_{B}^{A} eu preciso escrever cada vetor da base A como combinação linear dos vetores da base B. Se um vetor a\in A for escrito como
a = x\,b_{1} + y\,b_{2} + z\,b_{3},
então o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} será a coluna correspondente de [I]_{B}^{A}. Aqui b_{1},b_{2},b_{3} são os vetores da base B (respectivamente (1,0,1),(0,1,2),(2,1,1)). Vou resolver, para cada vetor de A, o sistema linear que determina x,y,z. Método: montar equações por componentes e resolver por substituição (é suficiente e rápido).

Passo 3

Encontrar coordenadas de a_{1}=(1,2,1)\) na base \(B\). Escrevemos \[(1,2,1)=x(1,0,1)+y(0,1,2)+z(2,1,1).
Isso gera o sistema de equações por componente:
\begin{cases} 1 = x + 2z,\\[4pt] 2 = y + z,\\[4pt] 1 = x + 2y + z. \end{cases}
Da primeira equação temos x=1-2z\]. Da segunda temos \(y=2-z. Substituindo na terceira:
1 = (1-2z) + 2(2-z) + z = 1-2z +4 -2z + z = 5 -3z.
Logo 1 = 5 - 3z\Rightarrow -4 = -3z\Rightarrow z=\tfrac{4}{3}.
Então
x = 1 - 2\cdot\tfrac{4}{3} = \tfrac{-5}{3},\qquad y = 2 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{2}{3}.
Portanto as coordenadas de a_{1} em B são
\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Encontrar coordenadas de a_{2}=(2,1,0)\) na base \(B\). Escrevemos \[(2,1,0)=x(1,0,1)+y(0,1,2)+z(2,1,1),
o que dá o sistema
\begin{cases} 2 = x + 2z,\\[4pt] 1 = y + z,\\[4pt] 0 = x + 2y + z. \end{cases}
Da primeira x=2-2z\]. Da segunda \(y=1-z. Substituindo na terceira:
0 = (2-2z) + 2(1-z) + z = 2-2z +2 -2z + z = 4 -3z.
Logo 0 = 4 -3z\Rightarrow z=\tfrac{4}{3}.
Então
x = 2 - 2\cdot\tfrac{4}{3} = -\tfrac{2}{3},\qquad y = 1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{1}{3}.
As coordenadas de a_{2} em B são
\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar coordenadas de a_{3}=(1,1,2)\) na base \(B\). Escrevemos \[(1,1,2)=x(1,0,1)+y(0,1,2)+z(2,1,1),
o que gera
\begin{cases} 1 = x + 2z,\\[4pt] 1 = y + z,\\[4pt] 2 = x + 2y + z. \end{cases}
Da primeira x=1-2z\]. Da segunda \(y=1-z. Substituindo na terceira:
2 = (1-2z) + 2(1-z) + z = 1-2z +2 -2z + z = 3 -3z.
Logo 2 = 3 - 3z\Rightarrow -1 = -3z\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}.
Então
x = 1 - 2\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3},\qquad y = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
As coordenadas de a_{3} em B são
\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora montamos a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}: suas colunas são as coordenadas dos vetores de A expressos em B, na ordem a_{1},a_{2},a_{3}. Assim
[I]_{B}^{A}= \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{4}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Para a parte (b): se (v)_{A} são as coordenadas de v na base A, então as coordenadas de v na base B são dadas por
(v)_{B} = [I]_{B}^{A}\,(v)_{A}.
Isto vem da linearidade: aplicar a transformação identidade escrita em coordenadas de A e ler em coordenadas de B equivale a multiplicar a matriz de mudança pela coluna de coordenadas em A.

Passo 8

Calcular (v)_{B} com (v)_{A}=(-1,1,2). Usamos a expressão como combinação linear das colunas (mais simples para cálculos manuais):
(v)_{B} = -1\cdot\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} +1\cdot\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Fazendo componente a componente:
primeira componente:
-1\cdot\big(-\tfrac{5}{3}\big)+\big(-\tfrac{2}{3}\big)+2\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{5}{3}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}.
segunda componente:
-1\cdot\tfrac{2}{3}+\big(-\tfrac{1}{3}\big)+2\cdot\tfrac{2}{3} =-\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}.
terceira componente:
-1\cdot\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}+2\cdot\tfrac{1}{3}=-\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.
Portanto
(v)_{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{B}^{A}= \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{4}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}
(v)_{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{5}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}]

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