Sejam as bases A e B de \mathbb{R}^{3} dadas por A=\{(1,2,1),(2,1,0),(1,1,2)\} e B=\{(1, 0,1),(0,1,2),(2,1,1)\}.
a) Determine a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A},
b) Utilize essa matriz para calcular (v)_{B}, sendo (v)_{A}=(-1,1,2)
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
A=\{(1,2,1),(2,1,0),(1,1,2)\}
B=\{(1,0,1),(0,1,2),(2,1,1)\}
Pede-se:
a) determinar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A} (ou seja, a matriz que transforma coordenadas em A para coordenadas em B);
b) usar essa matriz para calcular (v)_{B}, sabendo que (v)_{A}=(-1,1,2).
Passo 2
O que vamos fazer (explicação didática e simples): para encontrar [I]_{B}^{A} eu preciso escrever cada vetor da base A como combinação linear dos vetores da base B. Se um vetor a\in A for escrito como
a = x\,b_{1} + y\,b_{2} + z\,b_{3},
então o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} será a coluna correspondente de [I]_{B}^{A}. Aqui b_{1},b_{2},b_{3} são os vetores da base B (respectivamente (1,0,1),(0,1,2),(2,1,1)). Vou resolver, para cada vetor de A, o sistema linear que determina x,y,z. Método: montar equações por componentes e resolver por substituição (é suficiente e rápido).
Passo 3
Encontrar coordenadas de a_{1}=(1,2,1)\) na base \(B\). Escrevemos
\[(1,2,1)=x(1,0,1)+y(0,1,2)+z(2,1,1).
Isso gera o sistema de equações por componente:
\begin{cases} 1 = x + 2z,\\[4pt] 2 = y + z,\\[4pt] 1 = x + 2y + z. \end{cases}
Da primeira equação temos x=1-2z\]. Da segunda temos \(y=2-z. Substituindo na terceira:
1 = (1-2z) + 2(2-z) + z = 1-2z +4 -2z + z = 5 -3z.
Logo 1 = 5 - 3z\Rightarrow -4 = -3z\Rightarrow z=\tfrac{4}{3}.
Então
x = 1 - 2\cdot\tfrac{4}{3} = \tfrac{-5}{3},\qquad y = 2 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{2}{3}.
Agora montamos a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}: suas colunas são as coordenadas dos vetores de A expressos em B, na ordem a_{1},a_{2},a_{3}. Assim
Para a parte (b): se (v)_{A} são as coordenadas de v na base A, então as coordenadas de v na base B são dadas por
(v)_{B} = [I]_{B}^{A}\,(v)_{A}.
Isto vem da linearidade: aplicar a transformação identidade escrita em coordenadas de A e ler em coordenadas de B equivale a multiplicar a matriz de mudança pela coluna de coordenadas em A.
Passo 8
Calcular (v)_{B} com (v)_{A}=(-1,1,2). Usamos a expressão como combinação linear das colunas (mais simples para cálculos manuais):