Sejam os operadores lineares
, verifique se eles são ou não inversíveis. Caso sejam inversíveis, apresente a matriz da sua transformação inversa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é inversível e, caso seja, apresentar a matriz da transformação inversa.
As informações dadas são: para todo ,
As informações dadas são: para todo
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz de
na base canônica
. A coluna
da matriz é
. Calculamos:
Portanto a matriz de
na base canônica é
Passo 3
Vou explicar a condição de inversibilidade de modo prático para a prova: uma transformação linear em
é inversível se, e somente se, a matriz
associada tiver determinante diferente de zero. Para matrizes
,
Se
, a inversa de
é dada por
Aqui mostro isso para você lembrar no dia da prova:
são as entradas de
nas posições usuais (linha, coluna).]
Passo 4
Agora aplico essa fórmula ao nosso
. Com
,
,
,
, o determinante é
Passo 5
Como
, pela propriedade explicada no passo anterior, a matriz
não tem inversa, portanto o operador
não é inversível.
Passo 6
Para reforçar a intuição (útil na prova): as colunas de
são
e
. Observe que
ou seja, as colunas são linearmente dependentes. Isso implica que a imagem de
tem dimensão
(é uma reta) e que o núcleo de
não é só o vetor zero. Podemos achar explicitamente o núcleo resolvendo
:
Logo
, que tem vetor não nulo. Assim
não é injetiva nem sobrejetiva, reforçando que não existe inversa.
Passo 7
Conclusão direta e prática para a sua prova: como o determinante é zero e o núcleo é não trivial,
não é inversível; não existe matriz inversa a ser apresentada.