Sejam os operadores lineares T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, verifique se eles são ou não inversíveis. Caso sejam inversíveis, apresente a matriz da sua transformação inversa.
T(x, y)=(2 x+y,-2 x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é inversível e, caso seja, apresentar a matriz da transformação inversa.
As informações dadas são: para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y) = (2x+y,\,-2x-y).

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz de T na base canônica \,e_1=(1,0),\,e_2=(0,1). A coluna j da matriz é T(e_j). Calculamos:
T(e_1)=T(1,0)=(2\cdot1+0,\,-2\cdot1-0)=(2,-2),
T(e_2)=T(0,1)=(2\cdot0+1,\,-2\cdot0-1)=(1,-1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou explicar a condição de inversibilidade de modo prático para a prova: uma transformação linear em \mathbb{R}^2 é inversível se, e somente se, a matriz A associada tiver determinante diferente de zero. Para matrizes 2\times2,
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\text{ então }\det(A)=ad-bc.ã
Se \det(A)\neq0, a inversa de A é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui mostro isso para você lembrar no dia da prova: a,b,c,d são as entradas de A nas posições usuais (linha, coluna).]

Passo 4

Agora aplico essa fórmula ao nosso A. Com a=2, b=1, c=-2, d=-1, o determinante é
\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot(-2) = -2 -(-2) = -2+2 = 0.

Passo 5

Como \det(A)=0, pela propriedade explicada no passo anterior, a matriz A não tem inversa, portanto o operador T não é inversível.

Passo 6

Para reforçar a intuição (útil na prova): as colunas de A são (2,-2) e (1,-1). Observe que
(2,-2)=2\cdot(1,-1),
ou seja, as colunas são linearmente dependentes. Isso implica que a imagem de T tem dimensão 1 (é uma reta) e que o núcleo de T não é só o vetor zero. Podemos achar explicitamente o núcleo resolvendo T(x,y)=(0,0):
2x+y=0 \Rightarrow y=-2x.
Logo \ker(T)=\{(x,-2x):x\in\mathbb{R}\}=\text{span}\{(1,-2)\}, que tem vetor não nulo. Assim T não é injetiva nem sobrejetiva, reforçando que não existe inversa.

Passo 7

Conclusão direta e prática para a sua prova: como o determinante é zero e o núcleo é não trivial, T não é inversível; não existe matriz inversa a ser apresentada.

Resposta

T não é inversível.

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