01) Sejam as bases A e B de \mathbb{R}^{2} dadas por: A=\{(1,1),(1,-1)\} e B=\{(2,1),(1,0)\} e matriz de um operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} na base A é dada por:
[T]_{A}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\\\ 1 & 4 \end{array}\right]
a) Determine a matriz [T]_{B} semelhante a [T]_{A}
b) Dado v_{A}=(1,-3), calcule T(v)_{B}

Passo 1

O enunciado dá as bases e pede duas coisas. Informações fornecidas:
A=\{(1,1),(1,-1)\},\qquad B=\{(2,1),(1,0)\},
[T]_{A}=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}, \qquad v_{A}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Perguntas:
a) Determinar a matriz [T]_{B} do mesmo operador T na base B.
b) Dado v_{A}=(1,-3), calcular T(v)_{B} (as coordenadas de T(v) na base B).]

Passo 2

Conceito chave (explicado com calma): se S_{A} é a matriz cujas colunas são os vetores da base A escritos nas coordenadas canônicas, então para um vetor x vale
x = S_{A}\,x_{A},
onde x_{A} são as coordenadas de x na base A. Analogamente com S_{B} e x_{B}. Portanto
S_{A}\,x_{A}=S_{B}\,x_{B}\quad\Rightarrow\quad x_{B}=S_{B}^{-1}S_{A}\,x_{A}.
Definimos
P:=S_{B}^{-1}S_{A},
que converte coordenadas de A para coordenadas de B: x_{B}=P\,x_{A}. A relação entre matrizes de T nas bases é (vou derivar no próximo passo)
[T]_{B}=P\,[T]_{A}\,P^{-1}.

Passo 3

Construindo S_{A} e S_{B} (cada coluna é um vetor da base em coordenadas canônicas):
S_{A}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad S_{B}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando S_{B}^{-1}. Determinante de S_{B}:
\det(S_{B})=2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Fórmula da inversa 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} então M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}. Aplicando:
S_{B}^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculando P=S_{B}^{-1}S_{A}. Multiplicando:
P=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Interpretação: para qualquer vetor x, x_{B}=P\,x_{A}.]

Passo 6

Derivando a fórmula de mudança de base para a matriz do operador (passo didático):
Se v_{B}=P\,v_{A} então v_{A}=P^{-1}v_{B}. Aplicando T:
T(v)_{A}=[T]_{A}\,v_{A}=[T]_{A}\,P^{-1}v_{B}.
Mas queremos T(v)_{B}. Usando T(v)_{B}=P\,T(v)_{A} obtemos
T(v)_{B}=P\,[T]_{A}\,P^{-1}\,v_{B}.
Como isso vale para todo v_{B}, a matriz procurada é
[T]_{B}=P\,[T]_{A}\,P^{-1}.

Passo 7

Calculando P^{-1}. Determinante de P:
\det(P)=1\cdot 3 - (-1)\cdot(-1)=3-1=2.
Pela fórmula da inversa:
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calculando [T]_{B}=P\,[T]_{A}\,P^{-1} passo a passo.
Primeiro P\,[T]_{A}:
P\,[T]_{A}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]0 & 10\end{pmatrix}.
Agora multiplica pelo P^{-1}:
[T]_{B}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]0 & 10\end{pmatrix} \cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]10 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}.
Portanto
[T]_{B}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora transformamos v_{A} para coordenadas na base B: v_{B}=P\,v_{A}.
v_{B}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3\\[4pt]-1-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\[4pt]-10\end{pmatrix}.]

Passo 10

Finalmente, T(v)_{B}=[T]_{B}\,v_{B}:
T(v)_{B}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt]-10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot 4 + 0\cdot(-10)\\[6pt]5\cdot 4 + 5\cdot(-10)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\[4pt]-30\end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{B}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}
T(v)_{B}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-30\end{pmatrix}]

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