Sejam B1=(1,0),(0,1),
B2=(-1,1),(1,1), B3=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e B4=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
Quais são as coordenadas do vetor
v=(3,-2) em relação às bases B1, B2, B3 e B4

Passo 1

O enunciado pede para expressar v=(3,-2) na forma
v = c1,b1 + c2,b2
em cada uma das bases ordenadas
,B1,B2,B3,B4subsetR^2.
O conteúdo é coordenadas de um vetor em relação a uma base: basta resolver um sistema 2times2 para achar os escalares (c1,c2).

Passo 2

Para B1=(1,0),(0,1) — a base canônica — temos
v = 3,(1,0) + (-2),(0,1),
pois aqui os vetores da base são justamente e1 e e2. Logo as coordenadas são
(c1,c2) = (3,,-2)

Passo 3

Em
Isso dá o sistema
Somando as duas equações obtemos . Assim

Passo 4

Em
Isso equivale a
Da primeira .
E . Logo

Passo 5

Em B4=(2,0),(0,2) escrevemos
v = a,(2,0) + b,(0,2) = (2a,2b) = (3,-2)
Logo 2a=3Rightarrow a=tfrac32 e 2b=-2Rightarrow b=-1. Portanto
(c1,c2) = l(tfrac32,,-1r)

Resposta

Em B1: (3,-2)
Em B2: l(-tfrac52,tfrac12r)
Em B3: l(tfracraiz3-22,tfracraiz3+22r)
Em B4: l(tfrac32,-1r)

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