Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
c. F3: R^3 R dada por
F3(u, v, w)=2 u+v-w

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
F3colon R^3toR, F3(u,v,w)=2u+v-w,
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Usaremos conceitos de álgebra linear: injetividade equivale a ter núcleo trivial e sobrejetividade equivale à imagem ser todo R.

Passo 2

Para testar injetividade, analisamos o núcleo:
ker F3=(u,v,w)inR^3mid 2u+v-w=0
Essa equação tem infinitas soluções (por exemplo (u,v,w)=(1,0,2) satisfaz 2cdot1+0-2=0), logo ker F3neq(0,0,0). Portanto F3 não é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, pegamos um escalar arbitrário yinR e buscamos (u,v,w) tal que
2u+v-w=y
Basta escolher, por exemplo, u=0, w=0 e v=y. Então
F3(0,y,0)=2cdot0+y-0=y,
mostrando que qualquer y tem pré-imagem. Logo F3 é sobrejetora.

Passo 4

Como F3 não é injetora mas é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exigiria ser injetora e sobrejetora simultaneamente).

Resposta

F3 não é injetora, é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

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