Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
c.
dada por
c.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Usaremos conceitos de álgebra linear: injetividade equivale a ter núcleo trivial e sobrejetividade equivale à imagem ser todo
.
Passo 2
Para testar injetividade, analisamos o núcleo:
Essa equação tem infinitas soluções (por exemplo
satisfaz
), logo
. Portanto
não é injetora.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, pegamos um escalar arbitrário
e buscamos
tal que
Basta escolher, por exemplo,
,
e
. Então
mostrando que qualquer
tem pré-imagem. Logo
é sobrejetora.
Passo 4
Como
não é injetora mas é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exigiria ser injetora e sobrejetora simultaneamente).