Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
a. F1: R^2 R^2 dada por
F1(x, y)=(x, y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a aplicação
F1colon R^2to R^3, F1(x,y)=(x,y,x+y)
em injetora, sobrejetora ou bijetora. O conteúdo é testar as definições de injetividade e sobrejetividade para uma função dada por fórmula.

Passo 2

Definição de injetividade: F1 é injetora se
F1(x1,y1)=F1(x2,y2) implies (x1,y1)=(x2,y2)
Suponha F1(x1,y1)=F1(x2,y2). Então
(x1,y1,x1+y1) =(x2,y2,x2+y2)
Comparando coordenadas, obtemos x1=x2 e y1=y2. Logo F1 é injetora.

Passo 3

Definição de sobrejetividade:
Isso equivale ao sistema
As duas primeiras equações forçam , e a terceira exige . Se , não há solução. Portanto nem todo de é imagem de algo em , ou seja, não é sobrejetora.

Resposta

F1 é injetora e não é sobrejetora. Consequentemente, não é bijetora.

Exercícios relacionados