Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right], \\\ D=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{cccc} 5 & 4 & 0 & -1 \\\\ 6 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \end{gathered}
para os exercícios 16, 17, 18 e 19.
Determine:
A^{3}.

Passo 1

O enunciado dá várias matrizes, entre elas a matriz A:
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right]
e pede explicitamente para determinar A^{3}. Ou seja: calcular a matriz que resulta de multiplicar A por si mesma três vezes.

Passo 2

Plano de ação (sem longo jargão): para obter A^{3} é conveniente primeiro calcular A^{2}=A\cdot A e depois multiplicar o resultado por A para obter A^{3}=A^{2}\cdot A.
Antes de calcular, recordando a regra de multiplicação de matrizes de forma bem prática e sem mistério:
  • Se X e Y são matrizes compatíveis para multiplicação, o elemento na linha i e coluna j do produto XY é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui:
  • X_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de X;
  • Y_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de Y;
  • a soma percorre k sobre o número de colunas de X (ou linhas de Y).
    No caso de matrizes 2\times2 como A, isso vira uma soma com dois termos: (XY)_{ij}=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Vamos aplicar a fórmula elemento a elemento.
Primeiro escrevo explicitamente A para consultar entradas:
A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right].

Passo 4

Cálculo do elemento (A^{2})_{11}:
(A^{2})_{11}=a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21}=1\cdot1+2\cdot3=1+6=7.

Passo 5

Cálculo do elemento (A^{2})_{12}:
(A^{2})_{12}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}=1\cdot2+2\cdot(-4)=2-8=-6.

Passo 6

Cálculo do elemento (A^{2})_{21}:
(A^{2})_{21}=a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}=3\cdot1+(-4)\cdot3=3-12=-9.

Passo 7

Cálculo do elemento (A^{2})_{22}:
(A^{2})_{22}=a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22}=3\cdot2+(-4)\cdot(-4)=6+16=22.

Passo 8

Reunindo os elementos calculados, a matriz A^{2} é
A^{2}=\left[\begin{array}{cc} 7 & -6 \\\\ -9 & 22 \end{array}\right].

Passo 9

Agora calculamos A^{3}=A^{2}\cdot A. Vou aplicar de novo a fórmula (XY)_{ij}=\sum_k X_{ik}Y_{kj}, com X=A^{2} e Y=A.
Escrevo as duas matrizes para referência:
A^{2}=\left[\begin{array}{cc} 7 & -6 \\\\ -9 & 22 \end{array}\right],\qquad A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right].

Passo 10

Cálculo do elemento (A^{3})_{11}:
(A^{3})_{11}=(A^{2})_{11}\,a_{11}+(A^{2})_{12}\,a_{21}=7\cdot1+(-6)\cdot3=7-18=-11.

Passo 11

Cálculo do elemento (A^{3})_{12}:
(A^{3})_{12}=(A^{2})_{11}\,a_{12}+(A^{2})_{12}\,a_{22}=7\cdot2+(-6)\cdot(-4)=14+24=38.

Passo 12

Cálculo do elemento (A^{3})_{21}:
(A^{3})_{21}=(A^{2})_{21}\,a_{11}+(A^{2})_{22}\,a_{21}=(-9)\cdot1+22\cdot3=-9+66=57.

Passo 13

Cálculo do elemento (A^{3})_{22}:
(A^{3})_{22}=(A^{2})_{21}\,a_{12}+(A^{2})_{22}\,a_{22}=(-9)\cdot2+22\cdot(-4)=-18-88=-106.

Resposta

A^{3}=\left[\begin{array}{cc} -11 & 38 \\\\ 57 & -106 \end{array}\right]

Exercícios relacionados