Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(3,2)=(3,-2,-1) e T(2,1)=(1,-3,-3). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a matriz A da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que
onde (b_1,b_2,b_3)^{T}=(3,-2,-1)^{T} e (c_1,c_2,c_3)^{T}=(1,-3,-3)^{T}. Vamos resolver esse 2×2 comum. A matriz de coeficientes é
M=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1\neq 0,
logo M é invertível. A inversa de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}. Aplicando aqui,