Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(3,2)=(3,-2,-1) e T(2,1)=(1,-3,-3). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a matriz A da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
As informações dadas são:
T(3,2) = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad T(2,1) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
A questão específica pede o valor da entrada a_{21} da matriz A (segunda linha, primeira coluna). Vou usar somente essas informações.]

Passo 2

Vamos introduzir os vetores-coluna desconhecidos que formam a matriz A. Se escrevermos
A=\begin{pmatrix} \,a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \\[4pt] a_{31} & a_{32} \,\end{pmatrix},
então as colunas de A são
\mathbf{u}:=\begin{pmatrix}a_{11}\\[4pt]a_{21}\\[4pt]a_{31}\end{pmatrix}=T(1,0) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}:=\begin{pmatrix}a_{12}\\[4pt]a_{22}\\[4pt]a_{32}\end{pmatrix}=T(0,1).
Pela linearidade de T temos
T(3,2)=3\mathbf{u}+2\mathbf{v} \qquad\text{e}\qquad T(2,1)=2\mathbf{u}+1\mathbf{v}.
Substituindo os vetores conhecidos:
3\mathbf{u}+2\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad 2\mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 3

As duas equações acima formam um sistema linear para \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em termos matriciais (coeficientes para \mathbf{u} e \mathbf{v}):
\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{u}\\[4pt]\mathbf{v}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}\\[6pt] \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix} \end{pmatrix},
o que significa que para cada componente (linha) i=1,2,3 temos o mesmo sistema 2×2
\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_i\\[4pt]v_i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_i\\[4pt]c_i\end{pmatrix},
onde (b_1,b_2,b_3)^{T}=(3,-2,-1)^{T} e (c_1,c_2,c_3)^{T}=(1,-3,-3)^{T}. Vamos resolver esse 2×2 comum. A matriz de coeficientes é
M=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1\neq 0,
logo M é invertível. A inversa de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}. Aplicando aqui,
M^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix}.
Portanto, para cada componente i temos
\begin{pmatrix}u_i\\[4pt]v_i\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}b_i\\[4pt]c_i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_i\\[4pt]c_i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos a primeira componente ( i=1), usando b_1=3 e c_1=1:
\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]v_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\cdot3+2\cdot1\\[6pt]2\cdot3-3\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Portanto a_{11}=u_1=-1 e a_{12}=v_1=3.]

Passo 5

Agora a segunda componente ( i=2), com b_2=-2 e c_2=-3:
\begin{pmatrix}u_2\\[4pt]v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\cdot(-2)+2\cdot(-3)\\[6pt]2\cdot(-2)-3\cdot(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-6\\[4pt]-4+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Assim a_{21}=u_2=-4 e a_{22}=v_2=5.]

Passo 6

Finalmente a terceira componente ( i=3), com b_3=-1 e c_3=-3:
\begin{pmatrix}u_3\\[4pt]v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\cdot(-1)+2\cdot(-3)\\[6pt]2\cdot(-1)-3\cdot(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-6\\[4pt]-2+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Portanto a_{31}=u_3=-5 e a_{32}=v_3=7.]

Passo 7

Montando a matriz A com as colunas \mathbf{u} e \mathbf{v} obtidas, temos
A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]-4 & 5\\[4pt]-5 & 7\end{pmatrix}.
A entrada pedida a_{21} (segunda linha, primeira coluna) é o número que está na posição indicada dentro dessa matriz.]

Resposta

(F) -4

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