Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-1,3,3) e T(2,1)=(1,-3,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece duas imagens: \,T(1,1)=(-1,3,3)\, e \,T(2,1)=(1,-3,-2)\,. Pede-se encontrar uma matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada \,a_{12}\, dessa matriz. Lista das informações relevantes do enunciado:
T(1,1)=(-1,3,3),
T(2,1)=(1,-3,-2).
Passo 2
Explicação do método (por que isso funciona) — passo didático sobre representação matricial de transformações lineares:
Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Para qualquer vetor (x,y) temos (x,y)=x e_1 + y e_2. Pela linearidade de T,
T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2).
Isso significa que, na matriz A associada a T, a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Em notação,
Interpretação de índices: \,a_{12}\, é a entrada da primeira linha e segunda coluna da matriz A. Olhando a matriz acima, a primeira linha e segunda coluna é -3. Portanto