Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-1,3,3) e T(2,1)=(1,-3,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece duas imagens: \,T(1,1)=(-1,3,3)\, e \,T(2,1)=(1,-3,-2)\,. Pede-se encontrar uma matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada \,a_{12}\, dessa matriz. Lista das informações relevantes do enunciado:
T(1,1)=(-1,3,3),
T(2,1)=(1,-3,-2).

Passo 2

Explicação do método (por que isso funciona) — passo didático sobre representação matricial de transformações lineares:
Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Para qualquer vetor (x,y) temos (x,y)=x e_1 + y e_2. Pela linearidade de T,
T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2).
Isso significa que, na matriz A associada a T, a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Em notação,
A=\begin{bmatrix} \,T(e_1)\,&\,T(e_2)\,\end{bmatrix},
onde cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^3. Então nosso objetivo prático é encontrar T(e_1) e T(e_2).

Passo 3

Definimos incógnitas para as colunas da matriz:
T(e_1)=\begin{bmatrix}u_1\u_2\u_3\end{bmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix}.
Assim
A=\begin{bmatrix} u_1 & v_1 \\\ u_2 & v_2 \\\ u_3 & v_3 \end{bmatrix}.

Passo 4

Usamos as imagens dadas para obter equações em u_i e v_i. Como T(1,1)=T(e_1+e_2)=T(e_1)+T(e_2), temos
T(e_1)+T(e_2)=\begin{bmatrix}-1\\\ 3\\\ 3\end{bmatrix}.
Como T(2,1)=T(2e_1+e_2)=2T(e_1)+T(e_2), temos
2T(e_1)+T(e_2)=\begin{bmatrix}1\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix}.
Em componentes, isso dá o sistema vetorial:
\begin{cases} u_1+v_1=-1,\\\ u_2+v_2=3,\\\ u_3+v_3=3, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2u_1+v_1=1,\\\\ 2u_2+v_2=-3,\\\\ 2u_3+v_3=-2. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a primeira equação vetorial da segunda (isto é, (2T(e_1)+T(e_2))-(T(e_1)+T(e_2))=T(e_1)), obtemos diretamente T(e_1). Em componentes:
u_1 = 1 - (-1) = 2,
u_2 = -3 - 3 = -6,
u_3 = -2 - 3 = -5.
Portanto
T(e_1)=\begin{bmatrix}2\\\ -6\\\ -5\end{bmatrix}.

Passo 6

Agora obtemos T(e_2) usando T(e_1)+T(e_2)=(-1,3,3), isto é T(e_2)=T(1,1)-T(e_1). Em componentes:
v_1 = -1 - 2 = -3,
v_2 = 3 - (-6) = 9,
v_3 = 3 - (-5) = 8.
Logo
T(e_2)=\begin{bmatrix}-3\\\ 9\\\ 8\end{bmatrix}.

Passo 7

Montamos a matriz A com as colunas T(e_1) e T(e_2):
A=\begin{bmatrix} 2 & -3\\[4pt] -6 & 9\\[4pt] -5 & 8 \end{bmatrix}.]

Passo 8

Interpretação de índices: \,a_{12}\, é a entrada da primeira linha e segunda coluna da matriz A. Olhando a matriz acima, a primeira linha e segunda coluna é -3. Portanto
a_{12}=-3.

Resposta

(A) -3

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