Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(-4,3). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} de \mathbb{R}^2, os vetores em coordenadas padrão \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(-4,3), e as coordenadas desses vetores na base \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1).
O que pedem: determinar \vec{b}_2 (apenas o segundo componente varia nas alternativas; o primeiro está com um asterisco).

Passo 2

Interpretação das coordenadas: dizer que [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u}=3\vec{b}_1-2\vec{b}_2.
Analogamente [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1) significa
\vec{v}=-\vec{b}_1-\vec{b}_2.
Isso vem da definição: as coordenadas de um vetor numa base são exatamente os coeficientes da combinação linear dessa base que geram o vetor.

Passo 3

Escrevemos \vec{b}_1 e \vec{b}_2 em coordenadas componentes desconhecidas:
\vec{b}_1=\begin{pmatrix}x_1\y_1\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_2=\begin{pmatrix}x_2\y_2\end{pmatrix}.
Substituindo nas igualdades vetoriais obtemos, componente a componente,
da primeira equação
3\begin{pmatrix}x_1\y_1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}x_2\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\\ -4\end{pmatrix},
e da segunda
-1\begin{pmatrix}x_1\y_1\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}x_2\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\\ 3\end{pmatrix}.
Isso gera dois sistemas independentes para as componentes x e y.

Passo 4

Sistema para as primeiras componentes x:
das igualdades vem
3x_1-2x_2=7, \qquad -x_1-x_2=-4.
A segunda equação é equivalente a x_1+x_2=4. Usando x_1=4-x_2 na primeira:
3(4-x_2)-2x_2=7 \implies 12-3x_2-2x_2=7 \implies 12-5x_2=7.
Logo -5x_2=-5 e portanto
x_2=1.
Com x_2=1 temos x_1=4-x_2=3.

Passo 5

Agora o sistema para as segundas componentes y:
das igualdades vem
3y_1-2y_2=-4, \qquad -y_1-y_2=3.
A segunda é y_1+y_2=-3. Usando y_1=-3-y_2 na primeira:
3(-3-y_2)-2y_2=-4 \implies -9-3y_2-2y_2=-4 \implies -9-5y_2=-4.
Logo -5y_2=5 e portanto
y_2=-1.
Com y_2=-1 temos y_1=-3-(-1)=-2.

Passo 6

Portanto
\vec{b}_2=\begin{pmatrix}x_2\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
A segunda componente é -1, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}

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