Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(-4,3). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma base \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} de \mathbb{R}^2, os vetores em coordenadas padrão \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(-4,3), e as coordenadas desses vetores na base \beta: [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1).
O que pedem: determinar \vec{b}_2 (apenas o segundo componente varia nas alternativas; o primeiro está com um asterisco).
Passo 2
Interpretação das coordenadas: dizer que [\vec{u}]_{\beta}=(3,-2) significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u}=3\vec{b}_1-2\vec{b}_2.
Analogamente [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1) significa
\vec{v}=-\vec{b}_1-\vec{b}_2.
Isso vem da definição: as coordenadas de um vetor numa base são exatamente os coeficientes da combinação linear dessa base que geram o vetor.
Passo 3
Escrevemos \vec{b}_1 e \vec{b}_2 em coordenadas componentes desconhecidas: