Considere o espaço vetorial
das funções
duas vezes diferenciáveis no intervalo
. Defina
como
.
(i) Verifique que
é linear, ou seja, mostre que
;
(ii) Defina explicitamente
;
(iii) As funções
e
pertencem ao
? Justifique sua resposta.
(i) Verifique que
(ii) Defina explicitamente
(iii) As funções
Passo 1
O enunciado dá o espaço
(funções duas vezes diferenciáveis em toda reta) e o operador
definido por
As perguntas são:
- Verificar que
é linear, isto é, mostrar que para quaisquer escalares e quaisquer vale
- Determinar explicitamente
, ou seja, todas as funções tais que . - Verificar se
e pertencem a .
Passo 2
Definição útil (explicando a teoria): um operador linear
entre espaços vetoriais satisfaz aditividade e homogeneidade simultaneamente, o que se resume na igualdade
para todos escalares
e vetores
. No nosso caso, os “vetores” são funções e usamos que a operação de derivação é linear: para quaisquer escalares
e funções
,
Agora aplicamos
à combinação linear
:
Usando a linearidade das derivadas e a distributividade da subtração:
Agrupando termos em
e
:
Portanto a igualdade exigida vale para quaisquer
, logo
é linear. (Resumo curto: derivações e soma/escalar são lineares, e
combina essas operações linearmente.)
Passo 3
O núcleo
é o conjunto de funções
tais que
, isto é, que satisfazem a equação diferencial homogênea
Explicando como resolver: esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução do tipo
. Substituindo na equação obtemos a equação característica em
:
Resolvendo a quadrática:
Como temos duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes reais (ou complexas, dependendo do campo considerado). Em outras palavras,
Comentário didático: a razão pela qual tomamos
é que derivar exponencial apenas multiplica por
, o que transforma a diferencial em uma equação algébrica para
. Com duas raízes distintas, obtém-se duas soluções independentes que geram o espaço de soluções.
Passo 4
Agora checamos as funções dadas por substituição direta em
.
a) Para
:
Então
Portanto
.
b) Para
:
Então
Como
não é a função zero (para nenhum
a exponencial
é zero), temos
. Logo
.
Resposta
(i)
é linear:
.\n
(ii) pertence a (sim);
não pertence a
(não).)
(ii) pertence a