Considere o espaço vetorial \mathbf{V}=C(-\infty, \infty) das funções f(t) duas vezes diferenciáveis no intervalo (-\infty, \infty). Defina T: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V} como T(f)=f^{\prime \prime}-f.
(i) Verifique que T é linear, ou seja, mostre que T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g);
(ii) Defina explicitamente \operatorname{Ker}(T);
(iii) As funções f(t)=e^{t} e g(t)=e^{-2 t} pertencem ao \operatorname{Ker}(T) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathbf{V}=C(-\infty,\infty) (funções duas vezes diferenciáveis em toda reta) e o operador T:\mathbf{V}\to\mathbf{V} definido por
T(f)=f''-f.
As perguntas são:
  1. Verificar que T é linear, isto é, mostrar que para quaisquer escalares \alpha,\beta e quaisquer f,g\in\mathbf{V} vale
T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g).
  1. Determinar explicitamente \operatorname{Ker}(T), ou seja, todas as funções f\in\mathbf{V} tais que T(f)=0.
  2. Verificar se f(t)=e^{t} e g(t)=e^{-2t} pertencem a \operatorname{Ker}(T).

Passo 2

Definição útil (explicando a teoria): um operador linear T entre espaços vetoriais satisfaz aditividade e homogeneidade simultaneamente, o que se resume na igualdade
T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g)
para todos escalares \alpha,\beta e vetores f,g. No nosso caso, os “vetores” são funções e usamos que a operação de derivação é linear: para quaisquer escalares \alpha,\beta e funções f,g,
(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g',\qquad (\alpha f+\beta g)''=\alpha f''+\beta g''.
Agora aplicamos T à combinação linear \alpha f+\beta g:
T(\alpha f+\beta g)=(\alpha f+\beta g)''-(\alpha f+\beta g).
Usando a linearidade das derivadas e a distributividade da subtração:
(\alpha f+\beta g)''-(\alpha f+\beta g)=\alpha f''+\beta g''-\alpha f-\beta g.
Agrupando termos em \alpha e \beta:
\alpha(f''-f)+\beta(g''-g)=\alpha T(f)+\beta T(g).
Portanto a igualdade exigida vale para quaisquer \alpha,\beta,f,g, logo T é linear. (Resumo curto: derivações e soma/escalar são lineares, e T combina essas operações linearmente.)

Passo 3

O núcleo \operatorname{Ker}(T) é o conjunto de funções f tais que T(f)=0, isto é, que satisfazem a equação diferencial homogênea
f''-f=0.
Explicando como resolver: esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução do tipo f(t)=e^{r t}. Substituindo na equação obtemos a equação característica em r:
r^2-1=0.
Resolvendo a quadrática:
r^2-1=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Como temos duas raízes reais distintas r_1=1 e r_2=-1, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
f(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes reais (ou complexas, dependendo do campo considerado). Em outras palavras,
\operatorname{Ker}(T)=\{\,f:\; f(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t},\; C_1,C_2\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{e^{t},e^{-t}\}.
Comentário didático: a razão pela qual tomamos e^{rt} é que derivar exponencial apenas multiplica por r, o que transforma a diferencial em uma equação algébrica para r. Com duas raízes distintas, obtém-se duas soluções independentes que geram o espaço de soluções.

Passo 4

Agora checamos as funções dadas por substituição direta em T.
a) Para f(t)=e^{t}:
f'(t)=e^{t},\qquad f''(t)=e^{t}.
Então
T(f)=f''-f=e^{t}-e^{t}=0.
Portanto e^{t}\in\operatorname{Ker}(T).
b) Para g(t)=e^{-2t}:
g'(t)=-2e^{-2t},\qquad g''(t)=(-2)^2 e^{-2t}=4e^{-2t}.
Então
T(g)=g''-g=4e^{-2t}-e^{-2t}=3e^{-2t}.
Como 3e^{-2t} não é a função zero (para nenhum t a exponencial e^{-2t} é zero), temos T(g)\neq 0. Logo e^{-2t}\notin\operatorname{Ker}(T).

Resposta

(i) T é linear: T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g).\n
(ii) \operatorname{Ker}(T)=\{\,f(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}\mid C_1,C_2\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{e^{t},e^{-t}\}.\n (iii) \(e^{t} pertence a \operatorname{Ker}(T) (sim); e^{-2t} não pertence a \operatorname{Ker}(T) (não).)

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