Sejam \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} matrizes quadradas de ordem 2 tais que \boldsymbol{\operatorname { d e t }}(\boldsymbol{A})=6 e \boldsymbol{\operatorname { d e t }}(\boldsymbol{B})=3. Calcule \circ valor \operatorname{de} \operatorname{det}\left(3 A^{T} B^{-1}\right).
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 2\times2, \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}, com \det(\boldsymbol{A})=6 e \det(\boldsymbol{B})=3, e pede \det\bigl(3\,A^{T}B^{-1}\bigr). O conteúdo principal envolve propriedades de determinante: fator fora da matriz, transposta e inversa.

Passo 2

Para uma matriz quadrada de ordem n, vale
\det(cM)=c^{n}\det(M),
onde c é escalar e M é n\times n. Aqui n=2, então
\det\bigl(3\,M\bigr)=3^{2}\det(M)=9\,\det(M).

Passo 3

Aplicando essa propriedade a 3\,A^{T}B^{-1}, temos
\det\bigl(3\,A^{T}B^{-1}\bigr) =9\;\det\bigl(A^{T}B^{-1}\bigr).

Passo 4

Usamos agora que \det(A^{T})=\det(A) e \det(B^{-1})=\bigl(\det(B)\bigr)^{-1}. Logo,
\det\bigl(A^{T}B^{-1}\bigr) =\det(A^{T})\;\det(B^{-1}) =\det(A)\;\frac{1}{\det(B)}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\det\bigl(A^{T}B^{-1}\bigr) =6\;\frac{1}{3}=2,
e então
\det\bigl(3\,A^{T}B^{-1}\bigr) =9\cdot 2=18.

Resposta

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