Sejam
e
matrizes. Encontre a alternativa verdadeira. (Suponha que a multiplicação entre matrizes é sempre compatível)
a. Se
, sendo
a matriz identidade, então
.
b. Se
então
, sendo
a matriz identidade.
c. Se
, sendo
a matriz identidade, então
.
d. Se
, sendo
a matriz identidade, então
.
e. Se
, sendo
a matriz identidade, então
.
a. Se
b. Se
c. Se
d. Se
e. Se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
tal que
sendo
a matriz identidade, e pede qual propriedade é sempre verdadeira. O conteúdo aqui envolve determinante, invertibilidade e definição de matriz inversa.
Passo 2
Mostramos que
é invertível usando determinantes. Das propriedades de determinante vale
Assim
logo
é invertível.
Passo 3
Pela definição de inversa,
é a matriz que satisfaz
Como
, temos também
Comparando as duas expressões, concluímos
Passo 4
Analisando as demais alternativas:
(a) exigir é falso; há involuções não simétricas, por exemplo
.
(b) nem toda involução é .
(d) , nem sempre igual a
.
(e) pode ser
.
(a) exigir
(b) nem toda involução é
(d)
(e)
Resposta
(c)