Sejam \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} e \boldsymbol{C} matrizes. Encontre a alternativa verdadeira. (Suponha que a multiplicação entre matrizes é sempre compatível)
a. Se \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade, então \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}.
b. Se \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{I} então \mathrm{A}= \pm \boldsymbol{I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade.
c. Se \boldsymbol{A}^{\mathbf{2}}=\boldsymbol{I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade, então \boldsymbol{A}^{\mathbf{- 1}}=\boldsymbol{A}.
d. Se \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade, então \boldsymbol{A}^{51}=\boldsymbol{I}.
e. Se \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade, então \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz \boldsymbol{A} tal que
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{I},
sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade, e pede qual propriedade é sempre verdadeira. O conteúdo aqui envolve determinante, invertibilidade e definição de matriz inversa.

Passo 2

Mostramos que \boldsymbol{A} é invertível usando determinantes. Das propriedades de determinante vale
\det(\boldsymbol{A})^2 = \det(\boldsymbol{A}^2) = \det(\boldsymbol{I}) = 1.
Assim
\det(\boldsymbol{A}) = \pm 1 \neq 0,
logo \boldsymbol{A} é invertível.

Passo 3

Pela definição de inversa, \boldsymbol{A}^{-1} é a matriz que satisfaz
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{I}.
Como \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I}, temos também
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A} = \boldsymbol{I}.
Comparando as duas expressões, concluímos
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}.

Passo 4

Analisando as demais alternativas:
(a) exigir \boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A} é falso; há involuções não simétricas, por exemplo \bigl(\begin{smallmatrix}1&-1\\\ 0&-1\end{smallmatrix}\bigr)^2=\boldsymbol{I}.
(b) nem toda involução é \pm\boldsymbol{I}.
(d) \boldsymbol{A}^{51}=(\boldsymbol{A}^2)^{25}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}, nem sempre igual a \boldsymbol{I}.
(e) \det(\boldsymbol{A}) pode ser -1.

Resposta

(c)

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