Dada a reta r: X=(-1,1,2)+t(-1,2,-3), t \in \mathbb{R} e os pontos A=(1,2,1) e B=(-3,1,2), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Escolha uma opção:
a. (2,-5,11)
b. (-2,3,-1)
c. (0,-1,5)
d. (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 3)
e. (-\frac{2}{7},-\frac{3}{7}, \frac{29}{7})

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\;X(t)=(-1,1,2)+t(-1,2,-3)
e os pontos A=(1,2,1) e B=(-3,1,2). Queremos o ponto X em r tal que
\|X-A\|=\|X-B\|.
Isso envolve parametrizar X por t e impor \|X(t)-A\|^2=\|X(t)-B\|^2.

Passo 2

Parametrizando
X(t)=(-1-t,\;1+2t,\;2-3t),
calculamos
\|X(t)-A\|^2=(t+2)^2+(2t-1)^2+(1-3t)^2=14t^2-6t+6,
\|X(t)-B\|^2=(2-t)^2+(2t)^2+(-3t)^2=14t^2-4t+4.
Igualando
14t^2-6t+6 \;=\;14t^2-4t+4
resulta
-6t+6=-4t+4 \quad\Longrightarrow\quad-2t+2=0 \quad\Longrightarrow\quad t=1.

Passo 3

Substituindo t=1 em X(t) obtemos
X(1)=(-1-1,\;1+2,\;2-3)=(-2,3,-1).

Resposta

b. (-2,3,-1)

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