Sejam e as duas orientações de e uma base pertencente a boldsymbolA. Verifique, em cada caso, se F=(f1, f2, f3) pertencente a boldsymbolA ou a boldsymbolB. f1=-e1+e2-2 e3, f2=-2 e1+e2, f3=e1+e3
Passo 1
O enunciado diz que em V^3 temos duas orientações, A e B, e que E=(e1,e2,e3) é uma base de orientação A. Queremos saber se a base
F=(f1,f2,f3)
também pertence à orientação A ou se pertence à contrária B. Para isso, basta calcular o determinante da matriz de mudança de base de E para F: se for positivo, F tem a mesma orientação de E (ou seja, A); se for negativo, pertence a B.
Passo 2
Expressamos cada fi em coordenadas na base E. Pelos dados,
f1 = -e1 + e2 -2e3, f2 = -2e1 + e2, f3 = e1 + e3
Logo, a matriz de passagem M de E para F tem colunas formadas por essas coordenadas.
Passo 3
Escrevemos
M = -1 & -2 & 1 ;1 & ;1 & 0 -2 & ;0 & 1 ,
onde a primeira coluna são as componentes de f1, a segunda de f2 e a terceira de f3.
Passo 4
Calculamos o determinante de M por expansão de Laplace na primeira linha:
det M = -1cdotdet1&00&1 -(-2)cdotdet1&0-2&1 +1cdotdet1&1-2&0
Agora,
det1&00&1=1, det1&0-2&1=1, det1&1-2&0=0-(-2)=2
Então
det M = -1cdot1 -(-2)cdot1 +1cdot2 = -1 +2 +2 = 3
Passo 5
Como det M = 3>0, a base F tem a mesma orientação de E. Portanto F pertence à orientação A.