Use a Transformada de Laplace e o 1^o Teorema da Translação para resolver o PVI dado.
y^prime-y=1+t e^t com y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t)-y(t)=1+t e^t, y(0)=0
usando a Transformada de Laplace e o 1°\ Teorema da Translação. Vamos transformar a EDO em uma equação algébrica para Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando Ly'(t)=sY(s)-y(0), obtemos
sY(s)-0 ;-; Y(s) =L1+Lt e^t =1s+1(s-1)^2

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s), resulta
(s-1)Y(s) =1s+1(s-1)^2,
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Y(s) =1s(s-1)+1(s-1)^3

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais para 1s(s-1):
1s(s-1) =-1s+1s-1
Assim
Y(s) =-1s+1s-1+1(s-1)^3

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
  • L^-1l-tfrac1sr=-1,
  • L^-1ltfrac1s-1r=e^t,
  • pelo 1°\ Teorema da Translação, L^-1ltfrac1(s-1)^3r=tfract^22e^t.

Passo 6

Somando os resultados, obtemos
y(t)=-1 + e^t + t^22e^t

Resposta

y(t) = -1 + e^t + t^22e^t

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