Use a Transformada de Laplace e o 1^o Teorema da Translação para resolver o PVI dado.
y^prime+4 y=e^-4 t com y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'(t)+4,y(t)=e^-4t, y(0)=2
usando a Transformada de Laplace e o 1º Teorema da Translação (no domínio s), que nos diz que
Le^-4tf(t)(s)=F(s+4)
ou, em particular,
Le^-4t(s)=1s+4

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t)+4,y(t)=e^-4t
Usando
Ly'(s)=sY(s)-y(0)
e
Ly(s)=Y(s),
ficamos com
l(sY(s)-y(0)r)+4,Y(s)=1s+4
Como y(0)=2, isso vira
s,Y(s)-2+4,Y(s)=1s+4

Passo 3

Agrupando Y(s), obtemos
(s+4),Y(s)-2=1s+4 Longrightarrow (s+4),Y(s)=1s+4+2 Longrightarrow Y(s)=1(s+4)^2+2s+4

Passo 4

Fazemos agora a transformada inversa termo a termo:
L^-1ltfrac1(s+4)^2r(t)=t,e^-4t, L^-1ltfrac2s+4r(t)=2,e^-4t
Somando dá
y(t)=t,e^-4t+2,e^-4t=e^-4t,(t+2)

Resposta

y(t)=e^-4t,(t+2)

Exercícios relacionados