Sejam c \in \mathbb{R} e A, B \subset \mathbb{R} subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
A+B:=\{a+b: a \in A \text { e } b \in B\} \quad \text { e } \quad c A:=\{c a: a \in A\}
Prove as seguintes propriedades.
Se c<0, então \sup (c A)=c \inf A e \inf A=c \sup A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se c<0 e A\subset\mathbb{R} é não-vazio e limitado, então
\sup(cA)=c\,\inf A \quad\text{e}\quad \inf(cA)=c\,\sup A.
O conteúdo envolve a definição de supremo e ínfimo, e a propriedade de que multiplicar por número negativo inverte desigualdades.

Passo 2

Como A é não-vazia e limitada, \inf A e \sup A existem e, para todo a\in A, vale
\inf A \,\le\, a \,\le\, \sup A.
Como c<0, ao multiplicar essa cadeia por c invertemos as desigualdades:
c\,\inf A \,\ge\, c\,a \,\ge\, c\,\sup A.
Isso mostra que todo elemento de cA está entre c\,\sup A e c\,\inf A. Em particular, c\,\inf A é um majorante de cA e c\,\sup A é um minorante de cA.

Passo 3

Prova de \sup(cA)=c\,\inf A. Defina M = c\,\inf A. Já sabemos que M é majorante de cA. Para ver que é o menor majorante, seja \varepsilon>0. Como \inf A é ínfimo de A, existe a\in A tal que
a < \inf A + \delta \quad\text{com}\quad \delta = \frac{\varepsilon}{-c}>0.
Multiplicando por c<0 obtemos
c\,a > c\bigl(\inf A + \delta\bigr) = c\,\inf A + c\,\delta = M - \varepsilon.
Logo existe c\,a\in cA arbitrariamente próximo de M por baixo, o que caracteriza M como supremo de cA.

Passo 4

Prova de \inf(cA)=c\,\sup A. Defina m = c\,\sup A. Já sabemos que m é minorante de cA. Para \varepsilon>0, como \sup A é supremo de A, existe a\in A tal que
a > \sup A - \delta \quad\text{com}\quad \delta = \frac{\varepsilon}{-c}>0.
Multiplicando por c<0 obtemos
c\,a < c\bigl(\sup A - \delta\bigr) = c\,\sup A + |c|\,\delta = m + \varepsilon.
Isso mostra que há elementos de cA arbitrariamente próximos de m por cima, caracterizando m como ínfimo de cA.

Resposta

\sup(cA)=c\,\inf A e \inf(cA)=c\,\sup A.

Exercícios relacionados