Sejam
e
subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
Prove as seguintes propriedades.
Se
, então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
é não-vazio e limitado, então
O conteúdo envolve a definição de supremo e ínfimo, e a propriedade de que multiplicar por número negativo inverte desigualdades.
Passo 2
Como
é não-vazia e limitada,
e
existem e, para todo
, vale
Como
, ao multiplicar essa cadeia por
invertemos as desigualdades:
Isso mostra que todo elemento de
está entre
e
. Em particular,
é um majorante de
e
é um minorante de
.
Passo 3
Prova de
. Defina
. Já sabemos que
é majorante de
. Para ver que é o menor majorante, seja
. Como
é ínfimo de
, existe
tal que
Multiplicando por
obtemos
Logo existe
arbitrariamente próximo de
por baixo, o que caracteriza
como supremo de
.
Passo 4
Prova de
. Defina
. Já sabemos que
é minorante de
. Para
, como
é supremo de
, existe
tal que
Multiplicando por
obtemos
Isso mostra que há elementos de
arbitrariamente próximos de
por cima, caracterizando
como ínfimo de
.