Sejam c \in \mathbb{R} e A, B \subset \mathbb{R} subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
A+B:=\{a+b: a \in A \text { e } b \in B\} \quad \text { e } \quad c A:=\{c a: a \in A\}
Prove as seguintes propriedades.
\inf (A+B)=\inf A+\inf B.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados A e B subconjuntos não vazios e limitados de \mathbb{R}, vale
\inf(A+B)=\inf A+\inf B.
Aqui o conteúdo é definição de ínfimo (greatest lower bound). Vamos usar que:
  1. Para todo a\in A temos \inf A\le a, e para todo b\in B temos \inf B\le b.
  2. Dado qualquer \varepsilon>0, existe a\in A com a<\inf A+\varepsilon, e existe b\in B com b<\inf B+\varepsilon.

Passo 2

Mostramos primeiro que \inf A+\inf B é uma cota inferior de A+B. Seja x\in A+B. Então x=a+b para algum a\in A e b\in B. Como \inf A\le a e \inf B\le b, somando as duas desigualdades vem
\inf A+\inf B \;\le\; a+b \;=\; x.
Como isso vale para todo x\in A+B, concluímos que \inf A+\inf B é, de fato, um lower bound de A+B.

Passo 3

Agora provamos que não há cota inferior maior que \inf A+\inf B. Seja \varepsilon>0. Pelas propriedades do ínfimo, existe a\in A tal que
a \;<\; \inf A + \frac{\varepsilon}{2},
e existe b\in B tal que
b \;<\; \inf B + \frac{\varepsilon}{2}.
Então, para x=a+b\in A+B, temos
x = a+b \;<\; \Bigl(\inf A+\tfrac{\varepsilon}{2}\Bigr) + \Bigl(\inf B+\tfrac{\varepsilon}{2}\Bigr) = \inf A + \inf B + \varepsilon.
Isto mostra que, para todo \varepsilon>0, existe x\in A+B com
x < \inf A + \inf B + \varepsilon,
o que implica que nenhuma cota inferior maior que \inf A+\inf B pode valer de ínfimo de A+B.

Passo 4

Como \inf A+\inf B é cota inferior de A+B (Passo 2) e não há cota inferior maior que ela (Passo 3), segue da definição de ínfimo que
\inf(A+B) \;=\; \inf A + \inf B.

Resposta

\displaystyle \inf(A+B)=\inf A+\inf B.

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