Sejam
e
subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
Prove as seguintes propriedades.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados
e
subconjuntos não vazios e limitados de
, vale
Aqui o conteúdo é definição de ínfimo (greatest lower bound). Vamos usar que:
- Para todo
temos , e para todo temos . - Dado qualquer
, existe com , e existe com .
Passo 2
Mostramos primeiro que
é uma cota inferior de
. Seja
. Então
para algum
e
. Como
e
, somando as duas desigualdades vem
Como isso vale para todo
, concluímos que
é, de fato, um lower bound de
.
Passo 3
Agora provamos que não há cota inferior maior que
. Seja
. Pelas propriedades do ínfimo, existe
tal que
e existe
tal que
Então, para
, temos
Isto mostra que, para todo
, existe
com
o que implica que nenhuma cota inferior maior que
pode valer de ínfimo de
.
Passo 4
Como
é cota inferior de
(Passo 2) e não há cota inferior maior que ela (Passo 3), segue da definição de ínfimo que