Sejam
e
subconjuntos não vazios e limitados. Definimos os conjuntos
Prove as seguintes propriedades.
Se
.
Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um escalar
e um conjunto
não vazio e limitado. Definimos
e queremos provar
Lembraremos que
é o maior limite inferior de
.
Passo 2
Caso
: nesse caso
, logo
e também
Portanto a igualdade vale trivialmente para
.
Passo 3
Agora considere
. Primeiro mostramos que
é um limite inferior de
. Se
, então
para algum
. Como
e
, multiplicando pela não negatividade de
obtemos
Isso prova que
é limite inferior de
.
Passo 4
Para concluir que
é o maior limite inferior de
, seja
um limite inferior qualquer de
. Então
Como
, podemos dividir por
mantendo o sentido da desigualdade:
logo
e daí
Isso mostra que nenhum outro limite inferior de
excede
, de modo que