1. Sejam e . Calcule o valor da expressão:

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -1 e B = 2 & 1 & 1 3 & 1 & 2 1 & -1 & 0
e pede o valor de
6det(A^-1) ;-;5det(A^t);+;det(2A);-;det(B^3);+;det(BA);+;4det(A-B)
Para isso vamos usar várias propriedades de determinante:
  1. matriz triangular: produto dos elementos da diagonal;
  2. det(A^-1) = 1/det(A);
  3. det(A^t)=det(A);
  4. det(cA)=c^ndet(A) se A é ntimes n;
  5. det(AB)=det(A)det(B);
  6. det(B^3)=det(B)^3.

Passo 2

Como A é triangular,
det(A) = 2cdot1cdot(-1) = -2
Logo
det(A^-1) = 1det(A) = -tfrac12, det(A^t) = det(A) = -2, det(2A) = 2^3det(A) = 8cdot(-2) = -16

Passo 3

Calculamos det(B) pela regra de Sarrus ou expansão:
det(B) = 2,(1cdot0 - 2cdot(-1)) -1,(3cdot0 - 2cdot1) +1,(3cdot(-1) - 1cdot1) =2cdot2 -1cdot(-2) +1cdot(-4) =4+2-4=2
Então
det(B^3) = det(B)^3 = 2^3 = 8, det(BA) = det(B),det(A) = 2cdot(-2) = -4

Passo 4

A diferença A-B vale
A-B = 0 & 0 & 0 -3& 0 & 0 -1& 1 & -1 ,
que tem a primeira linha toda zero, logo
det(A-B) = 0

Passo 5

Agora somamos tudo:
6det(A^-1) = 6cdot(-tfrac12) = -3, -5det(A^t) = -5cdot(-2)=10, det(2A)=-16,
-det(B^3)=-8, det(BA)=-4, 4det(A-B)=4cdot0=0
Somando:
-3 + 10 -16 -8 -4 + 0 = -21

Resposta

O valor da expressão é -21.

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