Diga se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, se elas representam um número ou um vetor. Justifique sua resposta.
(a) (u cdot v times w) times w;

Passo 1

O enunciado quer saber se a expressão
(vec ucdotvec vtimesvec w)timesvec w
faz sentido e, em caso afirmativo, se ela representa um número (escalar) ou um vetor. O conteúdo é álgebra vetorial em R^3, usando produto vetorial e produto escalar, além de multiplicação de escalar por vetor.

Passo 2

Dentro dos parênteses está
vec ucdotvec vtimesvec w
Em álgebra vetorial adotamos a convenção
vec ucdot(vec vtimesvec w)
para o triplo escalar, pois o produto vetorial tem precedência sobre o escalar. Logo
vec vtimesvec w
é um vetor e
vec ucdot(vec vtimesvec w)
é um escalar (o chamado determinante formado por vec u,vec v,vec w).

Passo 3

Substituindo o parêntese pela letra alpha para enfatizar que é escalar, temos
alpha = vec ucdot(vec vtimesvec w)in R
Então a expressão vira
alpha times vec w
Aqui o “ times” já não pode ser produto vetorial (pois não se cruza escalar com vetor), e portanto é a multiplicação de escalar por vetor.

Passo 4

A multiplicação de um escalar alpha por um vetor vec w é bem definida e resulta num vetor paralelo a vec w. Assim
alpha,vec w
é um vetor em R^3.

Resposta

A expressão é bem definida e representa um vetor.

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