Sejam
(a) No caso , desenhe o gráfico de .
(b) Determine e tais que a função seja contínua. Para estes valores de e , desenhe o gráfico de .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2^x, & x<1, b, & x=1, ax - x^2, & x>1
Queremos estudar (a) a existência de limxto1f(x) quando a=0, e desenhar o gráfico para a=0 e b=0, e (b) encontrar a e b que tornam f contínua e esboçar esse gráfico. O conteúdo usado será limites laterais e definição de continuidade de função por partes.

Passo 2

Para a=0 temos para x<1 o ramo f(x)=2^x e para x>1 o ramo
,f(x)=0cdot x - x^2=-x^2
Calculamos os limites laterais em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-2^x=2
e
limxto1^+f(x)=limxto1^+(-x^2)=-1

Passo 3

Como
limxto1^-f(x)=2neq -1=limxto1^+f(x),
o limite limxto1f(x) não existe quando a=0. Para a=0 e b=0 o gráfico de f é:
– uma curva exponencial y=2^x para x<1, com ponto aberto em (1,2);
– um ponto marcado em (1,0) já que f(1)=b=0;
– e a parábola y=-x^2 para x>1, com ponto aberto em (1,-1).

Passo 4

Para que f seja contínua em x=1 é preciso
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)
Do ramo à esquerda vem limxto1^-f(x)=2, logo
tag1b=2
Do ramo à direita temos limxto1^+(ax - x^2)=acdot1 -1=a-1, e isso deve ser igual a 2, ou seja
tag2a-1=2Longrightarrow a=3

Passo 5

Portanto, para a=3 e b=2 a função é contínua. O gráfico resultante é:
– a curva y=2^x para x<=1, incluindo o ponto (1,2);\n
– a parábola y=3x - x^2 para x>1, que também passa por (1,2), garantindo a continuidade.

Resposta

(a) Para a=0 o limite limxto1f(x) não existe. O gráfico para a=0, b=0 é o descrito no Passo 3.
(b) a=3 e b=2. O gráfico contínuo está descrito no Passo 5.

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