Encontre a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x)=sen(x)-1cos (x)+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = sin(x) - 1cos(x) + 1
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Vamos identificar u(x) e v(x) e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin(x)-1, v(x)=cos(x)+1
Calculamos as derivadas:
u'(x)=cos(x), v'(x)=-sin(x)

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =cos(x)l(cos(x)+1r);-;l(sin(x)-1r)l(-sin(x)r)l(cos(x)+1r)^2
Agora expandimos o numerador:
cos(x)l(cos(x)+1r) = cos^2(x)+cos(x),
l(sin(x)-1r)l(-sin(x)r) = -sin^2(x)+sin(x),
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u'(x),v(x)-u(x),v'(x) = cos^2(x)+cos(x);-l(-sin^2(x)+sin(x)r)

Passo 4

Simplificando o numerador usando cos^2(x)+sin^2(x)=1:
cos^2(x)+cos(x)+sin^2(x)-sin(x) =1+cos(x)-sin(x)
Portanto
f'(x) =1+cos(x)-sin(x)l(cos(x)+1r)^2

Resposta

f'(x)=1+cos(x)-sin(x)(cos(x)+1)^2

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