Sejam A=[ccck & 0 & 0 0 & -1 & 1 1 & 1 & k] e B=[ccck & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & k]. Julgue as afirmativas abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta: Se tr(A)=-det(B) então k=1;

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = k & 0 & 0 [6pt] 0 & -1 & 1 [3pt] 1 & 1 & k
e
B = k & 2 & 1 [3pt] 0 & -1 & 1 [3pt] 0 & 0 & k
e pede para julgar se a afirmação “se tr(A) = -det(B) então k=1” é verdadeira ou falsa. Vamos precisar calcular tr(A), det(B) e resolver a equação resultante.]

Passo 2

Calculamos a traça de A. Lembrando que tr(A) é a soma dos elementos da diagonal principal, temos
tr(A) = k + (-1) + k = 2k - 1

Passo 3

Como B é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
det(B) = k cdot (-1) cdot k = -k^2
Portanto
-det(B) = -(-k^2) = k^2

Passo 4

Impondo a condição tr(A) = -det(B), obtemos
2k - 1 = k^2 Longrightarrow k^2 - 2k + 1 = 0 Longrightarrow (k-1)^2 = 0 Longrightarrow k = 1

Resposta

V (verdadeiro), pois a única solução da equação tr(A) = -det(B) é k=1.

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