Sejam e B=[ccck & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & k]. Julgue as afirmativas abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta: Se k=0, então o sistema B x=O, em que O é o vetor nulo, só admite a solução trivial, isto é, x=O.
Passo 1
O enunciado pede para julgar a afirmativa “se k=0, o sistema homogêneo B x=O só admite a solução trivial”. O conteúdo é sistema linear homogêneo e invertibilidade de matrizes: sabemos que um sistema homogêneo admite apenas a solução trivial se, e somente se, a matriz dos coeficientes for inversível (ou seja, tiver determinante diferente de zero).
Passo 2
Para k=0, a matriz B fica
B= 0 & 2 & 1 0 & -1& 1 0 & 0 & 0
Como B é triangular superior,
det(B)=0cdot(-1)cdot 0=0
Logo B é singular e não é inversível, o que implica que o sistema homogêneo B x=O admite soluções não triviais.
Passo 3
Para ver explicitamente uma solução não trivial, escrevemos as equações:
primeira linha: 2x2 + x3 = 0,
segunda linha: -x2 + x3 = 0.
Da segunda vem x3 = x2. Substituindo na primeira:
2x2 + x2 = 3x2 = 0 ;Longrightarrow; x2=0, x3=0
Mas não há equação envolvendo x1, logo x1 é livre. Tomando x1=1 por exemplo, obtemos a solução não trivial (1,0,0).