Sejam E o cilindro sólido x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1 e S a fronteira de E. Verifique que:
integral duplaS F cdot n d S=integral triplaE div F d x d y d z
onde F(x, y, z)=x y i-j+z^2 k e n normal a S que aponta para fora de E.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (ou de Gauss–Ostrogradski) no cilindro sólido
E = (x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1
com fronteira S, para o campo
vec F(x,y,z)=x y,vec i ;-;vec j;+;z^2,vec k
Isso envolve calcular os dois lados da igualdade
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS ;=; integral triplaE!divvec F,dV
e mostrar que coincidem.

Passo 2

Calculemos primeiro
divvec F. Como
vec F=(Fx,Fy,Fz)=(xy,,-1,,z^2),
temos
divvec F =partialpartial x(xy) +partialpartial y(-1) +partialpartial z(z^2) =y+0+2z =y+2z
Logo o volume a avaliar é
integral triplaE(y+2z),dV

Passo 3

Usando coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=1, temos
integral triplaEy,dV =integral0^1!integral0^2pi!integral0^1(rsintheta),(r,dr,dtheta,dz)
Por simetria em theta, integral0^2pisintheta,dtheta=0, logo
integral triplaEy,dV=0
E
integral triplaE2z,dV =2integralz=0^1z,dz integraltheta=0^2pi! integralr=0^1r,dr,dtheta =2cdot12cdot(picdot1) =pi
Portanto
integral triplaE(y+2z),dV=pi

Passo 4

Agora calculemos o fluxo de vec F através de S. A superfície S é a união de três partes:
– o cilindro lateral S1 com r=1,;0<= z<=1;
– o disco inferior S2 em z=0;
– o disco superior S3 em z=1.

Passo 5

Fluxo em S1: em r=1 a normal unitária aponta para fora e vale vec n=(costheta,sintheta,0), com elemento de área dS=dtheta,dz. Em x=costheta,;y=sintheta
vec Fcdotvec n =xycostheta+(-1)sintheta+z^2cdot0 =cos^2thetasintheta-sintheta =sintheta(cos^2theta-1) =-sin^3theta
Então
integral duplaS1vec Fcdotvec n,dS =integral0^2pi!integral0^1(-sin^3theta),dz,dtheta =-l(integral0^2pisin^3theta,dthetar)cdot1 =0

Passo 6

Fluxo em S2 ( z=0): a normal é (0,0,-1), logo
vec Fcdotvec n =-,Fz=-z^2=0,
e
integral duplaS2vec Fcdotvec n,dS=0

Passo 7

Fluxo em S3 ( z=1): a normal é (0,0,1), então
vec Fcdotvec n =Fz=z^2=1
e
integral duplaS3vec Fcdotvec n,dS =integral duplasubstackx^2+y^2<=11,dS =área do disco= pi á

Passo 8

Somando as três partes, o fluxo total é
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =0+0+pi =pi,
que coincide com
integral triplaEdivvec F,dV=pi.

Resposta

integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaEdivvec F,dV =pi

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