Sejam
o cilindro sólido
e
e
a fronteira de
. Verifique que:
onde
e
normal a
que aponta para fora de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência (ou de Gauss–Ostrogradski) no cilindro sólido
com fronteira
, para o campo
Isso envolve calcular os dois lados da igualdade
e mostrar que coincidem.
Passo 2
Calculemos primeiro
. Como
temos
Logo o volume a avaliar é
Passo 3
Usando coordenadas cilíndricas
,
,
,
,
, temos
Por simetria em
,
, logo
E
Portanto
Passo 4
Agora calculemos o fluxo de
através de
. A superfície
é a união de três partes:
– o cilindro lateral com
;
– o disco inferior em
;
– o disco superior em
.
– o cilindro lateral
– o disco inferior
– o disco superior
Passo 5
Fluxo em
: em
a normal unitária aponta para fora e vale
, com elemento de área
. Em
Então
Passo 6
Fluxo em
(
): a normal é
, logo
e
Passo 7
Fluxo em
(
): a normal é
, então
e
Passo 8
Somando as três partes, o fluxo total é
que coincide com
.