Considere o polinômio p(x)=x^{4}-8 x^{3}+A x^{2}+B x-20, onde A=a^{2}-2 a(1-b)-b e B=a^{2}(1-b)-2 a b.
Sabendo-se que a é uma raiz dupla inteira positiva, b é uma raiz simples inteira positiva e -1 são raízes de \mathrm{p}(\mathrm{x}), determine o valor de a . b+1 :
(A) 7
(B) 11
(C) 13
(D) 17
(E) 23

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{4}-8 x^{3}+A x^{2}+B x-20 com
A=a^{2}-2 a(1-b)-b, \qquad B=a^{2}(1-b)-2 a b,
e afirma que a é uma raiz dupla inteira positiva, b é uma raiz simples inteira positiva e -1 também é raiz de p(x). A pergunta é encontrar o valor de a\cdot b+1.
Informações relevantes extraídas:
  • As raízes (contando multiplicidade) são a,a,b,-1.
  • O polinômio é monico (coeficiente do x^{4} igual a 1).
  • O termo independente é -20.

Passo 2

Vou aplicar as fórmulas de Viète para polinômios monicos. Para um polinômio monico de grau 4
x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},
valem as relações (sinais alternados):
s_{1}=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-c_{3}, \qquad s_{4}=r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}=c_{0},
onde r_i são as raízes. No nosso caso c_{3}=-8 e c_{0}=-20. Como as raízes são a,a,b,-1, obtemos a soma:
2a+b+(-1)=8.
Portanto
2a+b=9 \quad\Rightarrow\quad b=9-2a.

Passo 3

Agora uso o produto das raízes. Para as raízes a,a,b,-1 o produto é
a\cdot a\cdot b\cdot(-1)=-a^{2}b.
Pela relação de Viète isso deve ser igual ao termo independente c_{0}=-20. Logo
- a^{2} b = -20 \quad\Rightarrow\quad a^{2} b = 20.

Passo 4

Agora combino as duas relações obtidas:
b=9-2a \qquad\text{e}\qquad a^{2}b=20.
Substituindo b da primeira na segunda:
a^{2}(9-2a)=20.
Desenvolvendo:
9a^{2}-2a^{3}=20.
Reorganizando em forma polinomial:
2a^{3}-9a^{2}+20=0.
Procuramos raízes inteiras positivas de 2a^{3}-9a^{2}+20. Pelos divisores de 20, testamos a=1,2,4,5,\ldots:
  • Para a=1: 2-9+20=13\neq0.
  • Para a=2: 2\cdot8-9\cdot4+20=16-36+20=0. Logo a=2 é solução inteira positiva.

Passo 5

Como a=2, voltamos à relação b=9-2a:
b=9-2\cdot2=9-4=5.
Também verifica-se a^{2}b=4\cdot5=20, consistente com a condição do produto.

Passo 6

Finalmente calculamos o que foi pedido:
a\cdot b+1 = 2\cdot5+1 = 10+1 = 11.
Ótimo — já tá resolvido! Força, você conseguiu.

Resposta

(B) 11

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