Considere o polinômio
, onde
e
.
Sabendo-se que
é uma raiz dupla inteira positiva,
é uma raiz simples inteira positiva e -1 são raízes de
, determine o valor de
:
(A) 7
(B) 11
(C) 13
(D) 17
(E) 23
Sabendo-se que
(A) 7
(B) 11
(C) 13
(D) 17
(E) 23
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com
e afirma que
é uma raiz dupla inteira positiva,
é uma raiz simples inteira positiva e
também é raiz de
. A pergunta é encontrar o valor de
.
Informações relevantes extraídas:
Informações relevantes extraídas:
- As raízes (contando multiplicidade) são
. - O polinômio é monico (coeficiente do
igual a ). - O termo independente é
.
Passo 2
Vou aplicar as fórmulas de Viète para polinômios monicos. Para um polinômio monico de grau
valem as relações (sinais alternados):
onde
são as raízes. No nosso caso
e
. Como as raízes são
, obtemos a soma:
Portanto
Passo 3
Agora uso o produto das raízes. Para as raízes
o produto é
Pela relação de Viète isso deve ser igual ao termo independente
. Logo
Passo 4
Agora combino as duas relações obtidas:
Substituindo
da primeira na segunda:
Desenvolvendo:
Reorganizando em forma polinomial:
Procuramos raízes inteiras positivas de
. Pelos divisores de
, testamos
:
- Para
: . - Para
: . Logo é solução inteira positiva.
Passo 5
Como
, voltamos à relação
:
Também verifica-se
, consistente com a condição do produto.
Passo 6
Finalmente calculamos o que foi pedido:
Ótimo — já tá resolvido! Força, você conseguiu.
Resposta
(B) 11