Dado o conjunto A, verifique se R é relação de equivalência em A :
A=\{1,2,3,4\} e R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{1,2,3,4\} e a relação
R = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)\}
e pergunta se R é relação de equivalência em A. Para isso, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação da reflexividade. Uma relação é reflexiva se, para todo x\in A, tivermos (x,x)\in R.
Em R estão (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4). Como todo elemento de A aparece emparelhado consigo mesmo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria. Uma relação é simétrica se sempre que (a,b)\in R então (b,a)\in R.
Em R temos (1,2) e o seu inverso (2,1), bem como (3,4) e o seu inverso (4,3). Os demais pares são do tipo (x,x), que são naturalmente simétricos. Logo, R é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que (a,b)\in R e (b,c)\in R, então (a,c)\in R.
Observando R, vemos que ele agrupa A em dois “blocos” disjuntos \{1,2\} e \{3,4\}, e dentro de cada bloco todos os pares necessários estão presentes. Por exemplo, em \{1,2\} temos (1,2), (2,1), (2,2) e (1,1), de modo que qualquer composição (a,b),(b,c) fica assegurada em (a,c). O mesmo vale para \{3,4\}. Portanto, R é transitiva.

Resposta

Sim, R é relação de equivalência em A.
As classes de equivalência são \{1,2\} e \{3,4\}.

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