Seja f: X Y uma função.
Se f é sobrejetiva e Y é finito, então X é finito? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon X to Y que é sobrejetiva e afirma que Y é finito. Pergunta-se se disso decorre que X também deve ser finito. Vamos usar as definições de conjunto finito e de função sobrejetiva.

Passo 2

Um conjunto Y é finito se existe uma bijeção entre Y e 1,2,dots,n para algum ninN. A surjeção fcolon Xto Y significa que para cada yin Y existe pelo menos um xin X tal que f(x)=y.

Passo 3

Como Y tem n elementos, podemos enumerar
Y=y1,y2,dots,yn
e escolher para cada yi um xiin X com f(xi)=yi. Então x1,dots,xnsubseteq X, o que garante |X|>= n. Porém isso não impede que X tenha ainda infinitos outros elementos.

Passo 4

Portanto não há obrigação de X ser finito. Basta um exemplo concreto para ver que X pode ser infinito mesmo com f sobrejetiva e Y finito.

Resposta

Não. Por exemplo, tome
X=N, Y=1,2,
e defina
f(n)= 1,&se (n) é par, 2,&se (n) é ímpar ééí
Então f é sobrejetiva, Y é finito, mas X é infinito.

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