Seja
uma função.
Se
é sobrejetiva e
é finito, então
é finito? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma função
que é sobrejetiva e afirma que
é finito. Pergunta-se se disso decorre que
também deve ser finito. Vamos usar as definições de conjunto finito e de função sobrejetiva.
Passo 2
Um conjunto
é finito se existe uma bijeção entre
e
para algum
. A surjeção
significa que para cada
existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Como
tem
elementos, podemos enumerar
e escolher para cada
um
com
. Então
, o que garante
. Porém isso não impede que
tenha ainda infinitos outros elementos.
Passo 4
Portanto não há obrigação de
ser finito. Basta um exemplo concreto para ver que
pode ser infinito mesmo com
sobrejetiva e
finito.
Resposta
Não. Por exemplo, tome
e defina
Então
é sobrejetiva,
é finito, mas
é infinito.