Sejam os conjuntos A=x mid x in Z, x^2<10 e B=x mid x=raizy, y in A, determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de A e B em relação a:
Q

Passo 1

Vamos resolver um exercício de teoria dos conjuntos envolvendo números inteiros e racionais. Precisamos encontrar os conjuntos complementares de dois conjuntos $ A $ e $ B $ em relação ao conjunto dos números racionais $ \mathbb{Q} $. Para isso, vamos entender o que são os conjuntos $ A $ e $ B $ e depois determinar seus complementos dentro de $ \mathbb{Q} $.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o conjunto $ A $. Ele é dado por:
A
Isso significa que $ A $ contém todos os números inteiros $ x $ cujo quadrado é menor que 10.

Passo 3

Vamos listar os inteiros que satisfazem $ x^2 < 10 $:
  • $ x = -3 $: $ (-3)^2 = 9 < 10 $
  • $ x = -2 $: $ (-2)^2 = 4 < 10 $
  • $ x = -1 $: $ (-1)^2 = 1 < 10 $
  • $ x = 0 $: $ 0^2 = 0 < 10 $
  • $ x = 1 $: $ 1^2 = 1 < 10 $
  • $ x = 2 $: $ 2^2 = 4 < 10 $
  • $ x = 3 $: $ 3^2 = 9 < 10 $
Portanto, o conjunto $ A $ é:
x^2 < 10

Passo 4

Agora, vamos definir o conjunto $ B $:
B
Isso significa que $ B $ contém todos os números que são a raiz quadrada de algum elemento de $ A $.

Passo 5

Vamos calcular $ \sqrt{y} $ para cada $ y $ em $ A $:
  • $ y = -3 $: $ \sqrt{-3} $ não é um número real, então não está em $ \mathbb{Q} $.
  • $ y = -2 $: $ \sqrt{-2} $ também não é um número real.
  • $ y = -1 $: $ \sqrt{-1} $ não é um número real.
  • $ y = 0 $: $ \sqrt{0} = 0 $
  • $ y = 1 $: $ \sqrt{1} = 1 $
  • $ y = 2 $: $ \sqrt{2} $ é irracional.
  • $ y = 3 $: $ \sqrt{3} $ é irracional.
Portanto, os únicos valores de $ x $ que são racionais são 0 e 1.
Assim, o conjunto $ B $ é:
raizy

Passo 6

Agora, queremos encontrar os conjuntos complementares de $ A $ e $ B $ em relação a $ \mathbb{Q} $.
O complemento de um conjunto $ C $ em relação a $ \mathbb{Q} $ é o conjunto de todos os números racionais que não estão em $ C $. Isso é representado por $ C’ = \mathbb{Q} \setminus C $.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar o complemento de $ A $:
A
Como $ A $ contém apenas os sete inteiros {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, o complemento $ A’ $ inclui todos os outros números racionais que não são esses inteiros específicos.

Passo 8

Em seguida, encontramos o complemento de $ B $:
B
Como $ B = {0, 1} $, o complemento $ B’ $ inclui todos os números racionais exceto 0 e 1.

Resposta

Os conjuntos complementares em relação a $ \mathbb{Q} $ são:
Q
A' = Q setminus -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

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