Sejam os conjuntos
e
, determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de teoria dos conjuntos envolvendo números inteiros e racionais. Precisamos encontrar os conjuntos complementares de dois conjuntos $ A $ e $ B $ em relação ao conjunto dos números racionais $ \mathbb{Q} $. Para isso, vamos entender o que são os conjuntos $ A $ e $ B $ e depois determinar seus complementos dentro de $ \mathbb{Q} $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o conjunto $ A $. Ele é dado por:
Isso significa que $ A $ contém todos os números inteiros $ x $ cujo quadrado é menor que 10.
Passo 3
Vamos listar os inteiros que satisfazem $ x^2 < 10 $:
- $ x = -3 $: $ (-3)^2 = 9 < 10 $
- $ x = -2 $: $ (-2)^2 = 4 < 10 $
- $ x = -1 $: $ (-1)^2 = 1 < 10 $
- $ x = 0 $: $ 0^2 = 0 < 10 $
- $ x = 1 $: $ 1^2 = 1 < 10 $
- $ x = 2 $: $ 2^2 = 4 < 10 $
- $ x = 3 $: $ 3^2 = 9 < 10 $
Portanto, o conjunto $ A $ é:
Passo 4
Agora, vamos definir o conjunto $ B $:
Isso significa que $ B $ contém todos os números que são a raiz quadrada de algum elemento de $ A $.
Passo 5
Vamos calcular $ \sqrt{y} $ para cada $ y $ em $ A $:
- $ y = -3 $: $ \sqrt{-3} $ não é um número real, então não está em $ \mathbb{Q} $.
- $ y = -2 $: $ \sqrt{-2} $ também não é um número real.
- $ y = -1 $: $ \sqrt{-1} $ não é um número real.
- $ y = 0 $: $ \sqrt{0} = 0 $
- $ y = 1 $: $ \sqrt{1} = 1 $
- $ y = 2 $: $ \sqrt{2} $ é irracional.
- $ y = 3 $: $ \sqrt{3} $ é irracional.
Portanto, os únicos valores de $ x $ que são racionais são 0 e 1.
Assim, o conjunto $ B $ é:
Passo 6
Agora, queremos encontrar os conjuntos complementares de $ A $ e $ B $ em relação a $ \mathbb{Q} $.
O complemento de um conjunto $ C $ em relação a $ \mathbb{Q} $ é o conjunto de todos os números racionais que não estão em $ C $. Isso é representado por $ C’ = \mathbb{Q} \setminus C $.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar o complemento de $ A $:
Como $ A $ contém apenas os sete inteiros {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, o complemento $ A’ $ inclui todos os outros números racionais que não são esses inteiros específicos.
Passo 8
Em seguida, encontramos o complemento de $ B $:
Como $ B = {0, 1} $, o complemento $ B’ $ inclui todos os números racionais exceto 0 e 1.
Resposta
Os conjuntos complementares em relação a $ \mathbb{Q} $ são: