Sejam A, B, C, D in R e considere o conjunto de ponto (x, y) in R^2 satisfazendo
A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa w=1z preserva círculos generalizados
Conclua que a imagem do círculo 1pela transformação z mapsto 1 / z é determinada pela equação
D(u^2+v^2)+B u-C v+A=0

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, aplicando a transformação inversão complexa w=1/z num conjunto definido por uma equação do tipo A(x²+y²)+B x+C y+D=0 (círculo generalizado), obtemos de novo um círculo generalizado dado por D(u²+v²)+B u–C v+A=0. Vamos usar a relação entre z=x+iy e w=u+iv pra fazer essa mudança de variáveis.

Passo 2

A primeira coisa é escrever w=1/z. Se z=x+iy, então
w=1x+iy=x-iyx^2+y^2=u+iv
Isso dá as fórmulas de troca de variáveis:
x=uu^2+v^2, y=-vu^2+v^2

Passo 3

Agora substituímos x e y na equação do círculo generalizado original
A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
Primeiro calculamos x2+y2 usando as fórmulas:
x^2+y^2=u^2(u^2+v^2)^2+v^2(u^2+v^2)^2=u^2+v^2(u^2+v^2)^2=1u^2+v^2

Passo 4

Agora a equação vira
Acdot1u^2+v^2+Bcdotuu^2+v^2+Ccdotl(-vu^2+v^2r)+D=0
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (u²+v²) e multiplicando em seguida por (u²+v²) para limpar o denominador, obtemos:
A + B u - C v + D(u^2+v^2)=0

Passo 5

Reordenando os termos, vemos que a equação obtida em (u,v) é exatamente um círculo generalizado na forma desejada.

Resposta

D(u2+v2) + B u - C v + A = 0

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