Sejam
e considere o conjunto de ponto
satisfazendo
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa
preserva círculos generalizados
Conclua que a imagem do círculo 1pela transformação
é determinada pela equação
Conclua que a imagem do círculo 1pela transformação
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, aplicando a transformação inversão complexa w=1/z num conjunto definido por uma equação do tipo A(x²+y²)+B x+C y+D=0 (círculo generalizado), obtemos de novo um círculo generalizado dado por D(u²+v²)+B u–C v+A=0. Vamos usar a relação entre z=x+iy e w=u+iv pra fazer essa mudança de variáveis.
Passo 2
A primeira coisa é escrever w=1/z. Se z=x+iy, então
Isso dá as fórmulas de troca de variáveis:
Passo 3
Agora substituímos x e y na equação do círculo generalizado original
Primeiro calculamos x2+y2 usando as fórmulas:
Passo 4
Agora a equação vira
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (u²+v²) e multiplicando em seguida por (u²+v²) para limpar o denominador, obtemos:
Passo 5
Reordenando os termos, vemos que a equação obtida em (u,v) é exatamente um círculo generalizado na forma desejada.
Resposta
D(u2+v2) + B u - C v + A = 0