Sejam
um campo vetorial e
o círculo
com
orientado no sentido anti-horária quando visto de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e um círculo
definido por
no plano
, orientado no sentido anti-horário visto de cima. A missão é calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse problema.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Simplificando, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como contorno. A fórmula é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Lembrando que:
Onde
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 5
Substituindo esses resultados na expressão do rotacional:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Como escolhemos a superfície
no plano
, o vetor normal
é simplesmente
. Portanto:
Passo 7
A integral de superfície fica:
Como
é constante na superfície
(sempre igual a 5), podemos tirar
da integral:
Passo 8
A área de
é a área do círculo
, que tem raio
. A área é:
Passo 9
Multiplicando pela constante:
Resposta
A integral
vale
.