Sejam
F(x, y, z)=y z i+2 x z j+c^x y k
um campo vetorial e C o círculo x^2+y^2=16 com z=5 orientado no sentido anti-horária quando visto de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = y z i + 2 x z j + c^x y k e um círculo C definido por x^2 + y^2 = 16 no plano z = 5, orientado no sentido anti-horário visto de cima. A missão é calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse problema.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Simplificando, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula é:
ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. Lembrando que:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Onde P = y z, Q = 2 x z e R = c^x y.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Rpartial y = partialpartial y (c^x y) = x c^x y ln c
  2. partial Qpartial z = partialpartial z (2 x z) = 2 x
  3. partial Ppartial z = partialpartial z (y z) = y
  4. partial Rpartial x = partialpartial x (c^x y) = y c^x y ln c
  5. partial Qpartial x = partialpartial x (2 x z) = 2 z
  6. partial Ppartial y = partialpartial y (y z) = z

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão do rotacional:
nabla times F = ( x c^x y ln c - 2 x ) i + ( y - y c^x y ln c ) j + ( 2 z - z ) k = ( x c^x y ln c - 2 x ) i + ( y - y c^x y ln c ) j + z k

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n. Como escolhemos a superfície S no plano z = 5, o vetor normal n é simplesmente k. Portanto:
(nabla times F) cdot n = z

Passo 7

A integral de superfície fica:
integral duplaS z , dS
Como z é constante na superfície S (sempre igual a 5), podemos tirar z da integral:
integral duplaS z , dS = z integral duplaS dS = 5 times Área de S Á

Passo 8

A área de S é a área do círculo x^2 + y^2 = 16, que tem raio r = 4. A área é:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16 pi Á

Passo 9

Multiplicando pela constante:
5 times 16 pi = 80 pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale 80,pi.

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