Sejam , definidas por e é definida por .
Determine uma base e a dimensão do Núcleo e da imagem de (F - 2G)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. Temos duas funções lineares e que mapeiam vetores de para . A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do Núcleo (ou Kernel) e da Imagem dessas funções quando combinamos e da seguinte maneira: . Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar funções lineares e como encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Lembrando que para combinar duas funções lineares, a gente faz isso componente a componente. Então, vamos subtrair duas vezes cada componente de da respectiva componente de .
Dados:
Então,
Agora, subtraindo de :
Simplificando cada componente:
Então, temos:
Passo 3
Agora que temos a expressão para , vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Isso vai facilitar encontrar o Núcleo e a Imagem.
A transformação pode ser representada pela matriz:
Cada coluna da matriz representa como cada variável , , e afeta o resultado da transformação.
Passo 4
Vamos encontrar o Núcleo de . O Núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras, queremos resolver:
Isso resulta no sistema de equações:
0 1 1
Já sabemos que , então substituímos na segunda equação:
Então, os vetores no núcleo têm a forma , onde é qualquer número real.
Podemos escrever isso como:
ú
Então, uma base para o Núcleo é simplesmente o vetor , e sua dimensão é 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Imagem de A = -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 . A Imagem é o conjunto de todos os vetores em -1 1 , 0 -1 , 0 1 que podem ser obtidos a partir da transformação. Basicamente, queremos ver quais combinações lineares das colunas da matriz 0 1 são possíveis.
A matriz 0 -1 que representamos antes é:
0 2
As colunas de -1 1 , 0 -1 são:
Vamos ver se essas colunas são linearmente independentes. Se uma coluna puder ser escrita como combinação das outras, não precisamos dela na base.
Observando, vemos que a terceira coluna pode ser obtida adicionando a segunda coluna a , mas nesse caso específico, como temos uma coluna com no topo e as outras com , a terceira coluna não adiciona nada novo à Imagem.
Portanto, uma base para a Imagem é formada pelas duas primeiras colunas: