Sejam F, G in L(R^3, R^2), definidas por F(x, y, z)=(x-2 y, y-z+x) e G é definida por G(x, y, z)=(x-y, y-z).
Determine uma base e a dimensão do Núcleo e da imagem de (F - 2G)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. Temos duas funções lineares e que mapeiam vetores de para . A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do Núcleo (ou Kernel) e da Imagem dessas funções quando combinamos e da seguinte maneira: . Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar funções lineares e como encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular F(x, y, z) = (x - 2y, y - z + x) . Lembrando que para combinar duas funções lineares, a gente faz isso componente a componente. Então, vamos subtrair duas vezes cada componente de G(x, y, z) = (x - y, y - z) da respectiva componente de 2G(x, y, z) = 2(x - y, y - z) = (2x - 2y, 2y - 2z) .
Dados:
(F - 2G)(x, y, z) = F(x, y, z) - 2G(x, y, z) = (x - 2y - (2x - 2y), y - z + x - (2y - 2z))
= (x - 2y - 2x + 2y, y - z + x - 2y + 2z)
Então,
= (-x, x - y + z)
Agora, subtraindo (F - 2G)(x, y, z) = (-x, x - y + z) de :
Simplificando cada componente:
Então, temos:

Passo 3

Agora que temos a expressão para A = -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 , vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Isso vai facilitar encontrar o Núcleo e a Imagem.
A transformação pode ser representada pela matriz:
Cada coluna da matriz representa como cada variável , , e afeta o resultado da transformação.

Passo 4

Vamos encontrar o Núcleo de (F - 2G)(x, y, z) = -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 x y z = 0 0 . O Núcleo é o conjunto de todos os vetores -1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = 0 Rightarrow -x = 0 Rightarrow x = 0 em 1 cdot x - 1 cdot y + 1 cdot z = 0 Rightarrow x - y + z = 0 que são mapeados para o vetor zero em 0 - y + z = 0 Rightarrow z = y . Em outras palavras, queremos resolver:
Núc<=o = y cdot 0 1 1 , g| , y in R
Isso resulta no sistema de equações:
0 1 1
Já sabemos que , então substituímos na segunda equação:
Então, os vetores no núcleo têm a forma , onde é qualquer número real.
Podemos escrever isso como:
ú
Então, uma base para o Núcleo é simplesmente o vetor , e sua dimensão é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Imagem de A = -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 . A Imagem é o conjunto de todos os vetores em -1 1 , 0 -1 , 0 1 que podem ser obtidos a partir da transformação. Basicamente, queremos ver quais combinações lineares das colunas da matriz 0 1 são possíveis.
A matriz 0 -1 que representamos antes é:
0 2
As colunas de -1 1 , 0 -1 são:
Vamos ver se essas colunas são linearmente independentes. Se uma coluna puder ser escrita como combinação das outras, não precisamos dela na base.
Observando, vemos que a terceira coluna pode ser obtida adicionando a segunda coluna a , mas nesse caso específico, como temos uma coluna com no topo e as outras com , a terceira coluna não adiciona nada novo à Imagem.
Portanto, uma base para a Imagem é formada pelas duas primeiras colunas:
E a dimensão da Imagem é 2.

Resposta

  • Base do Núcleo: 0 1 1
  • Dimensão do Núcleo: 1
  • Base da Imagem: -1 1
  • Dimensão da Imagem: 2

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