Sejam A, B subset Omega. Definimos:
COmega A=x in Omega: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
COmega(A cup B)=COmega A cap COmega B ; COmega(A cap B)=COmega A cup COmega B

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades clássicas de teoria de conjuntos (leis de De Morgan) em um universo fixo Omega. Precisamos usar a definição
COmegaA = xinOmega: xnotin A
e mostrar
COmega(Acup B)=COmegaAcap COmegaB e COmega(Acap B)=COmegaAcup COmegaB
Faremos isso mostrando, em cada caso, as duas inclusões que caracterizam a igualdade de conjuntos.

Passo 2

Provar COmega(Acup B)subset COmegaAcap COmegaB. Seja xin COmega(Acup B). Por definição,
xinOmegae xnotin Acup B
Como xnotin Acup B, concluímos xnotin A e xnotin B. Logo
xin COmegaA e xin COmegaB,
o que significa xin COmegaAcap COmegaB.

Passo 3

Provar COmegaAcap COmegaBsubset COmega(Acup B). Seja xin COmegaAcap COmegaB. Então
xin COmegaAimplies xnotin A, xin COmegaBimplies xnotin B
Assim x não pertence a nenhum de A ou B, logo xnotin Acup B. Como xinOmega (todo elemento dos complementos está em Omega), temos xin COmega(Acup B).

Passo 4

Das inclusões dos Passos 2 e 3 segue a primeira igualdade:
COmega(Acup B)=COmegaAcap COmegaB

Passo 5

Provar COmega(Acap B)subset COmegaAcup COmegaB. Seja xin COmega(Acap B). Então
xinOmegae xnotin Acap B
Como xnotin Acap B, temos que não vale simultaneamente xin A e xin B. Logo ou xnotin A ou xnotin B, o que implica
xin COmegaA ou xin COmegaB,
isto é, xin COmegaAcup COmegaB.

Passo 6

Provar COmegaAcup COmegaBsubset COmega(Acap B). Seja xin COmegaAcup COmegaB. Então ou xnotin A ou xnotin B. Em qualquer dos casos x não pode estar em Acap B. Como xinOmega, segue xin COmega(Acap B).

Passo 7

Das inclusões dos Passos 5 e 6 concluímos a segunda igualdade:
COmega(Acap B)=COmegaAcup COmegaB

Resposta

COmega(Acup B)=COmegaAcap COmegaB, COmega(Acap B)=COmegaAcup COmegaB

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