Sejam
. Definimos:
Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar duas identidades clássicas de teoria de conjuntos (leis de De Morgan) em um universo fixo
. Precisamos usar a definição
e mostrar
Faremos isso mostrando, em cada caso, as duas inclusões que caracterizam a igualdade de conjuntos.
Passo 2
Provar
. Seja
. Por definição,
Como
, concluímos
e
. Logo
o que significa
.
Passo 3
Provar
. Seja
. Então
Assim
não pertence a nenhum de
ou
, logo
. Como
(todo elemento dos complementos está em
), temos
.
Passo 4
Das inclusões dos Passos 2 e 3 segue a primeira igualdade:
Passo 5
Provar
. Seja
. Então
Como
, temos que não vale simultaneamente
e
. Logo ou
ou
, o que implica
isto é,
.
Passo 6
Provar
. Seja
. Então ou
ou
. Em qualquer dos casos
não pode estar em
. Como
, segue
.
Passo 7
Das inclusões dos Passos 5 e 6 concluímos a segunda igualdade: