Seja
. Determine a esperança e a variância da seguinte v.a.:
Passo 1
Beleza, então o exercício diz: “Seja
. Determine a esperança e a variância de
.”
Isso é sobre variáveis aleatórias, em particular a normal, e queremos as medidas de tendência central e dispersão de uma função de , que aqui é
. Para resolver, vamos usar:
Isso é sobre variáveis aleatórias, em particular a normal, e queremos as medidas de tendência central e dispersão de uma função de
- Definição de esperança de uma função de variável aleatória.
- Propriedade de momentos da normal (em especial
e ). - A fórmula da variância:
.
Passo 2
Calcular a esperança
.
- Lembra que, por definição, para uma V.A. contínua
, No nosso caso, e é a densidade da normal. - Mas tem um atalho: para qualquer
, Aqui tem e . - Substituindo,
Passo 3
Calcular a variância de
, ou seja
.
- Use a fórmula geral:
- Precisamos de
. Para uma normal , sabe-se (por fórmula de momentos) que Se isso parecer misterioso: dá pra derivar da integral, mas vale decorar que para normal zero-mean
todos os momentos pares são, e no caso dá . - Então
Resposta
Esperança:
.
Variância: .
Variância: