Seja X sim N(0, sigma^2). Determine a esperança e a variância da seguinte v.a.:
X^2

Passo 1

Beleza, então o exercício diz: “Seja . Determine a esperança e a variância de .”
Isso é sobre variáveis aleatórias, em particular a normal, e queremos as medidas de tendência central e dispersão de uma função de , que aqui é . Para resolver, vamos usar:
  • Definição de esperança de uma função de variável aleatória.
  • Propriedade de momentos da normal (em especial e ).
  • A fórmula da variância: .

Passo 2

Calcular a esperança E[g(X)] = integral-infty^infty g(x),fX(x),dx .
  1. Lembra que, por definição, para uma V.A. contínua Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 , sigma^2 = E[X^2] - 0^2 Longrightarrow E[X^2] = sigma^2 No nosso caso, e é a densidade da normal.
  2. Mas tem um atalho: para qualquer , Aqui tem e .
  3. Substituindo,

Passo 3

Calcular a variância de Var(X^2) = El[(X^2)^2r] - l(E[X^2]r)^2 = E[X^4] - l(E[X^2]r)^2 , ou seja E[X^4] = 3,sigma^4 .
  1. Use a fórmula geral: Var(X^2) = 3,sigma^4 - (sigma^2)^2 = 3,sigma^4 - sigma^4 = 2,sigma^4
  2. Precisamos de . Para uma normal , sabe-se (por fórmula de momentos) que Se isso parecer misterioso: dá pra derivar da integral, mas vale decorar que para normal zero-mean
    todos os momentos pares são , e no caso .
  3. Então

Resposta

Esperança: .
Variância: .

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