Sejam F(s)=Lf(t) e Y(s)=Ly(t). Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(d) F(s)=6 s+3(s^4+5 s^2+4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ F(s) = \frac{6s + 3}{s^4 + 5s^2 + 4} $, e precisamos encontrar a função no tempo $ y(t) $ que corresponde a essa transformada. Para isso, vamos precisar usar fatoração de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador $ s^4 + 5s^2 + 4 $. Esse polinômio de quarto grau pode ser fatorado. Perceba que ele pode ser reescrito como uma equação quadrática em $ s^2 $:
s^4 + 5s^2 + 4
Agora, vamos procurar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão 5. Esses números são 1 e 4. Então, podemos fatorar assim:
s^2

Passo 3

Agora, nossa função $ F(s) $ fica:
F(s)
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
F(s) = 6s + 3(s^2 + 1)(s^2 + 4)
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de $ A, B, C $ e $ D $.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por $ (s^2 + 1)(s^2 + 4) $ para eliminar os denominadores, temos:
(s^2 + 1)(s^2 + 4)
Vamos expandir o lado direito:
6s + 3 = (As + B)(s^2 + 4) + (Cs + D)(s^2 + 1)
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
6s + 3 = As^3 + 4As + Bs^2 + 4B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D

Passo 5

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação, temos o seguinte sistema:
A + C = 0 (coeficiente de s^3) B + D = 0 (coeficiente de s^2) 4A + C = 6 (coeficiente de s) 4B + D = 3 (termo constante)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da primeira equação $ A + C = 0 $, podemos expressar $ C = -A $.
Substituindo $ C = -A $ na terceira equação:
A + C = 0
Então, $ C = -2 $.

Passo 7

Da segunda equação $ B + D = 0 $, temos $ D = -B $.
Substituindo $ D = -B $ na quarta equação:
B + D = 0
Então, $ D = -1 $.

Passo 8

Agora que encontramos $ A = 2 $, $ B = 1 $, $ C = -2 $ e $ D = -1 $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
A = 2

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at) e L^-11s^2 + a^2 = sin(at)a
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-12s + 1s^2 + 1 = 2cos(t) + sin(t)
L^-1-2s -1s^2 + 4 = -2cos(2t) - 12sin(2t)

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace de $ F(s) $ é:
F(s)

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