Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(d)
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(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é $ F(s) = \frac{6s + 3}{s^4 + 5s^2 + 4} $, e precisamos encontrar a função no tempo $ y(t) $ que corresponde a essa transformada. Para isso, vamos precisar usar fatoração de polinômios e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador $ s^4 + 5s^2 + 4 $. Esse polinômio de quarto grau pode ser fatorado. Perceba que ele pode ser reescrito como uma equação quadrática em $ s^2 $:
Agora, vamos procurar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão 5. Esses números são 1 e 4. Então, podemos fatorar assim:
Passo 3
Agora, nossa função $ F(s) $ fica:
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de $ A, B, C $ e $ D $.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por $ (s^2 + 1)(s^2 + 4) $ para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação, temos o seguinte sistema:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Primeiro, da primeira equação $ A + C = 0 $, podemos expressar $ C = -A $.
Substituindo $ C = -A $ na terceira equação:
Então, $ C = -2 $.
Passo 7
Da segunda equação $ B + D = 0 $, temos $ D = -B $.
Substituindo $ D = -B $ na quarta equação:
Então, $ D = -1 $.
Passo 8
Agora que encontramos $ A = 2 $, $ B = 1 $, $ C = -2 $ e $ D = -1 $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de $ F(s) $ é: