Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{8 k^{2}-3 k}}
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{8 k^{2}-3 k}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da comparação no limite. O conteúdo envolvido é o teste de comparação, para o qual vamos precisar de uma série-p (
) como referência.
Passo 2
Identificamos o termo geral
. Para aplicar o teste de comparação no limite, escolhemos uma série-p cujos termos assintoticamente se comportem como
. Note que
, então definimos
.
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação no limite, calculando
Passo 4
Como
é um número finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação no limite a série
e a série
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Mas
é uma p-série com
, que sabemos divergir.
Passo 5
Portanto, a série
diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da comparação no limite com a p-série de expoente
.