Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{8 k^{2}-3 k}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^infty dfrac1raiz[3]8 k^2-3 k usando o teste da comparação no limite. O conteúdo envolvido é o teste de comparação, para o qual vamos precisar de uma série-p ( sum 1/k^p) como referência.

Passo 2

Identificamos o termo geral ak = 1raiz[3]8 k^2-3 k. Para aplicar o teste de comparação no limite, escolhemos uma série-p cujos termos assintoticamente se comportem como ak. Note que raiz[3]8 k^2-3ksim (8k^2)^1/3=2,k^2/3, então definimos bk=1/k^2/3.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação no limite, calculando
L = limktoinfty akbk = limktoinfty 1raiz[3]8 k^2-3 k1k^2/3 = limktoinfty k^2/3raiz[3]8 k^2-3 k = limktoinfty raiz[3]k^28k^2-3k = raiz[3]18 = 12

Passo 4

Como L=1/2 é um número finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação no limite a série sum ak e a série sum bk têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Mas sum bk=sum 1/k^2/3 é uma p-série com p=2/3<=1, que sabemos divergir.

Passo 5

Portanto, a série sumk=1^infty 1raiz[3]8 k^2-3 k diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação no limite com a p-série de expoente p=2/3.

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