Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(a)
.
(b)
©
.
(d)
;
(e)
;
(f)
;
(g)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace, $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^{2} + s - 12)} $, e queremos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, encontrar $ f(t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador $ s^{2} + s - 12 $. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Para simplificar $ F(s) $, vamos decompor em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 4)(s - 3) $, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de s que simplificam a equação.
Para $ s = 0 $:
Para $ s = -4 $:
Para $ s = 3 $:
Passo 5
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição:
Passo 6
Vamos agora aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^{2} + s - 12)} $ é: