Sejam F(s)=Lf(t) e Y(s)=Ly(t). Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(a) F(s)=2 s-5s(s^2+s-12).
(b) Y(s)=2s^2(s+2)(s-1)+1(s+2)(s-1)
© Y(s)=3(s-1)(s^2+4).
(d) F(s)=6 s+3(s^4+5 s^2+4);
(e) Y(s)=e^-ss^3;
(f) F(s)=1-e^-pi ss^2+4;
(g) Y(s)=2(s-1) e^-2 ss^2-2 s+2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace, $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^{2} + s - 12)} $, e queremos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, encontrar $ f(t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador $ s^{2} + s - 12 $. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então:
s^2 + s - 12
Agora, nossa função fica:
s^2 + s - 12 = (s + 4)(s - 3)

Passo 3

Para simplificar $ F(s) $, vamos decompor em frações parciais. Assumimos que:
F(s)
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 4)(s - 3) $, obtemos:
2s - 5s(s + 4)(s - 3) = As + Bs + 4 + Cs - 3

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de s que simplificam a equação.
Para $ s = 0 $:
s = 0
Para $ s = -4 $:
2(0) - 5 = A(0 + 4)(0 - 3) Rightarrow -5 = A(4)(-3) Rightarrow -5 = -12A Rightarrow A = 512
Para $ s = 3 $:
s = -4

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição:
F(s) = 512 cdot 1s - 1328 cdot 1s + 4 + 121 cdot 1s - 3

Passo 6

Vamos agora aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s + a = e^-at
L^-11s - a = e^at

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas:
f(t) = 512 cdot 1 - 1328 e^-4t + 121 e^3t
Simplificando:
f(t) = 512 - 1328 e^-4t + 121 e^3t

Resposta

A transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^{2} + s - 12)} $ é:
F(s) = 2s - 5s(s^2 + s - 12)

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