Sejam X1, X2, uma a.a. da distribuição N(0,1).Obtenha a distribuição amostral das seguintes estatísticas:
X2-X1raiz2;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos duas v.a. independentes X2 - X1raiz2 e , cada uma seguindo . Precisamos achar a distribuição de
Conteúdo: distribuição de combinações lineares de variáveis normais. O que vamos usar:
  1. Se e são independentes, então .
  2. Propriedade da independência: não tem covariância extra.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que é uma combinação linear de normais independentes. Por esse teorema, também é normal. Então já sabemos que o resultado vai ser algum .

Passo 3

Vamos calcular a média dessa variável:
E[X2 - X1] ;=; E[X2] ;-; E[X1] ;=; 0 - 0 ;=; 0
Como estamos dividindo por E[X2 - X1]raiz2 = 0raiz2 = 0 , a média de é

Passo 4

Agora a variância. Sabemos que, para variáveis independentes,
Aqui Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) , Var(X2 - X1) = 1^2cdot1 + (-1)^2cdot1 = 1 + 1 = 2 , , . Então
Mas como dividimos por Var!l(X2 - X1raiz2r) = Var(X2 - X1)(raiz2)^2 = 22 = 1 , a variância de é

Passo 5

Juntando tudo: nossa estatística é normal (porque combinação de normais independentes é normal), média zero e variância 1.

Resposta

X2 - X1raiz2 ;sim; N(0,1)

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