Sejam
, uma a.a. da distribuição
.Obtenha a distribuição amostral das seguintes estatísticas:
;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos duas v.a. independentes
e
, cada uma seguindo
. Precisamos achar a distribuição de
Conteúdo: distribuição de combinações lineares de variáveis normais. O que vamos usar:
- Se
e são independentes, então . - Propriedade da independência: não tem covariância extra.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é uma combinação linear de normais independentes. Por esse teorema,
também é normal. Então já sabemos que o resultado vai ser algum
.
Passo 3
Vamos calcular a média dessa variável:
Como estamos dividindo por
, a média de
é
Passo 4
Agora a variância. Sabemos que, para variáveis independentes,
Aqui
,
, , . Então
Mas como dividimos por
, a variância de
é
Passo 5
Juntando tudo: nossa estatística é normal (porque combinação de normais independentes é normal), média zero e variância 1.