Sejam A e B dois eventos disjuntos de um experimento, onde P(A)=0,13 e P(B)= 0,39. Suponha que esse experimento é repetido até que ocorra pelo menos um dos eventos citados. Determine a probabilidade do evento A ocorrer antes do evento B.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão diz: a gente tem dois eventos A e B que não podem acontecer juntos (são disjuntos), com
e . A ideia é repetir o experimento até rolar A ou B e queremos a chance de A acontecer antes de B.
Conteúdo: probabilidade de eventos em experimentos independentes e soma de série geométrica. A gente vai precisar entender como modelar cada tentativa e somar as chances de A aparecer na primeira vez que um dos dois dá certo.

Passo 2

Primeiro, bora modelar cada tentativa do experimento:
  • Acontece A com probabilidade pN ;=; 1 - (pA + pB) ;=; 1 - (0,13 + 0,39); .
  • Acontece B com probabilidade .
  • Nenhum dos dois (vamos chamar de “nenhum”) com probabilidade
Essa última é a chance de rolar algo que não seja A nem B. A cada repetição, os resultados são independentes.

Passo 3

Calculemos pN = 1 - (0,13 + 0,39) = 1 - 0,52 = 0,48 :
l(pNr)^k-1 times pA
Agora, para A acontecer antes de B, A tem que surgir na tentativa e em todas as anteriores nada ter sido A nem B (só “nenhum”). A probabilidade disso é

Passo 4

Como sumk=1^infty l(pNr)^k-1 pA ;=; pA sumk=0^infty (pN)^k ;=; pA cdot 11 - pN (fórmula da soma de série >=ométrica) pode ser 1, 2, 3, … até infinito, somamos essa chance para todas as 0,131 - 0,48 = 0,130,52 = 0,25 :
óéé
Substituindo e :

Resposta

A probabilidade de o evento A ocorrer antes do evento B é .

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