Sejam
e
dois eventos disjuntos de um experimento, onde
e
0,39. Suponha que esse experimento é repetido até que ocorra pelo menos um dos eventos citados. Determine a probabilidade do evento
ocorrer antes do evento
.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão diz: a gente tem dois eventos A e B que não podem acontecer juntos (são disjuntos), com
e
. A ideia é repetir o experimento até rolar A ou B e queremos a chance de A acontecer antes de B.
Conteúdo: probabilidade de eventos em experimentos independentes e soma de série geométrica. A gente vai precisar entender como modelar cada tentativa e somar as chances de A aparecer na primeira vez que um dos dois dá certo.
Conteúdo: probabilidade de eventos em experimentos independentes e soma de série geométrica. A gente vai precisar entender como modelar cada tentativa e somar as chances de A aparecer na primeira vez que um dos dois dá certo.
Passo 2
Primeiro, bora modelar cada tentativa do experimento:
- Acontece A com probabilidade
. - Acontece B com probabilidade
. - Nenhum dos dois (vamos chamar de “nenhum”) com probabilidade
Essa última é a chance de rolar algo que não seja A nem B. A cada repetição, os resultados são independentes.
Passo 3
Calculemos
:
Agora, para A acontecer antes de B, A tem que surgir na tentativa
e em todas as
anteriores nada ter sido A nem B (só “nenhum”). A probabilidade disso é
Passo 4
Como
pode ser 1, 2, 3, … até infinito, somamos essa chance para todas as
:
Substituindo
e
:
Resposta
A probabilidade de o evento A ocorrer antes do evento B é
.