Três pessoas deixam seus guarda-chuvas ao chegar numa festa. Ao sair, cada um pega um guarda-chuva aleatoriamente. Qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter pego o guarda-chuva certo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que três pessoas deixam seus guarda-chuvas numa festa e, na hora de sair, cada uma pega um guarda-chuva aleatório. A pergunta é: qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa acabar pegando o guarda-chuva certo? Isso é um problema de probabilidade usando contagem de arranjos (permutações) e “desproposicionamentos” (derangements). Vamos precisar saber como contar todas as formas possíveis de distribuir os guarda-chuvas e quantas dessas não dão a ninguém o guarda-chuva próprio.

Passo 2

Primeiro, contamos todas as maneiras de distribuir 3 guarda-chuvas entre 3 pessoas, sem nenhuma restrição. Cada pessoa pode pegar qualquer um dos 3, mas de forma que não repitamos guarda-chuvas. Isso é simplesmente:
total de arranjos = 3! = 3 times 2 times 1 = 6

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de “pelo menos um acerto”. É mais fácil fazer o complementar: a probabilidade de nenhum pegar o guarda-chuva certo. Isso é o famoso número de derangements D(n) = n! sumk=0^n (-1)^kk! , que conta quantas permutações de 3 itens não têm pontos fixos. A fórmula geral é:
D(3) = 3! l(1 - 11! + 12! - 13!r) = 6 l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16r) = 6 times tfrac13 = 2
Para :
Ou então você pode listar as 6 permutações e ver que apenas 2 não acertam ninguém.

Passo 4

A probabilidade de ninguém pegar o guarda-chuva certo é
P(nenhum acerto) = D(3)3! = 26 = 13
Então, a probabilidade de pelo menos um ter pego o guarda-chuva certo é o complemento:
P(>= 1 acerto) = 1 - P(nenhum acerto) = 1 - 13 = 23

Resposta

A probabilidade de pelo menos uma pessoa pegar o guarda-chuva certo é .

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