Três pessoas deixam seus guarda-chuvas ao chegar numa festa. Ao sair, cada um pega um guarda-chuva aleatoriamente. Qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter pego o guarda-chuva certo?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que três pessoas deixam seus guarda-chuvas numa festa e, na hora de sair, cada uma pega um guarda-chuva aleatório. A pergunta é: qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa acabar pegando o guarda-chuva certo? Isso é um problema de probabilidade usando contagem de arranjos (permutações) e “desproposicionamentos” (derangements). Vamos precisar saber como contar todas as formas possíveis de distribuir os guarda-chuvas e quantas dessas não dão a ninguém o guarda-chuva próprio.
Passo 2
Primeiro, contamos todas as maneiras de distribuir 3 guarda-chuvas entre 3 pessoas, sem nenhuma restrição. Cada pessoa pode pegar qualquer um dos 3, mas de forma que não repitamos guarda-chuvas. Isso é simplesmente:
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de “pelo menos um acerto”. É mais fácil fazer o complementar: a probabilidade de nenhum pegar o guarda-chuva certo. Isso é o famoso número de derangements
, que conta quantas permutações de 3 itens não têm pontos fixos. A fórmula geral é:
Para
:
Ou então você pode listar as 6 permutações e ver que apenas 2 não acertam ninguém.
Passo 4
A probabilidade de ninguém pegar o guarda-chuva certo é
Então, a probabilidade de pelo menos um ter pego o guarda-chuva certo é o complemento:
Resposta
A probabilidade de pelo menos uma pessoa pegar o guarda-chuva certo é
.